Descreve as estruturas algébricas dadas, respondendo às questões especificadas em baixo.
Verifique se a estrutura (
) de permutações no conjunto de
elementos com a operação binária o :
de composição
(a) é finita ou infinita;
(b) é comutativa ou não;
(c) possui um elemento neutro ou não.
Verifique se a estrutura (
(a) é finita ou infinita;
(b) é comutativa ou não;
(c) possui um elemento neutro ou não.
Passo 1
O enunciado apresenta a estrutura algébrica
, onde
é o conjunto de todas as permutações de
elementos e
é a composição de permutações. Vamos verificar: (a) se é finita ou infinita, (b) se é comutativa e (c) se existe elemento neutro.
Passo 2
Para verificar se
é finita ou infinita, notamos que uma permutação é um rearranjo dos
elementos. O número total de rearranjos é
que é um número finito para todo
natural. Logo,
tem exatamente
elementos, ou seja, é finita.
Passo 3
Para analisar a comutatividade, basta lembrar que em geral, ao compor duas permutações
, temos
já para
. Por exemplo, em
trocando primeiro
e depois
dá resultado diferente de fazer as trocas na ordem inversa. Portanto, para
,
não é comutativa. (Obs.:
e
são casos triviais onde a composição acaba sendo comutativa, mas o grupo geral de permutações é não abeliano assim que
.)
Passo 4
Um elemento neutro para a composição de permutações é a permutação identidade
que envia cada
em si mesmo, isto é,
para todo
. Para qualquer
vale
Logo,
possui elemento neutro.
Resposta
(a)
é finita, pois tem
elementos.
(b) Não é comutativa para .
(c) Possui elemento neutro, que é a permutação identidade.
(b) Não é comutativa para
(c) Possui elemento neutro, que é a permutação identidade.