Descreve as estruturas algébricas dadas, respondendo às questões especificadas em baixo.
Verifique se a estrutura ( \mathrm{S}_{n}, 0 ) de permutações no conjunto de n elementos com a operação binária o : \mathrm{S}_{n} \times \mathrm{S}_{n} \mapsto \mathrm{~S}_{n} de composição
(a) é finita ou infinita;
(b) é comutativa ou não;
(c) possui um elemento neutro ou não.

Passo 1

O enunciado apresenta a estrutura algébrica \bigl(\mathrm{S}_{n},\circ\bigr), onde \mathrm{S}_{n} é o conjunto de todas as permutações de n elementos e \circ é a composição de permutações. Vamos verificar: (a) se é finita ou infinita, (b) se é comutativa e (c) se existe elemento neutro.

Passo 2

Para verificar se \mathrm{S}_{n} é finita ou infinita, notamos que uma permutação é um rearranjo dos n elementos. O número total de rearranjos é
n! = 1\cdot2\cdot3\cdots n,
que é um número finito para todo n natural. Logo, \mathrm{S}_{n} tem exatamente n! elementos, ou seja, é finita.

Passo 3

Para analisar a comutatividade, basta lembrar que em geral, ao compor duas permutações \sigma,\tau\in\mathrm{S}_{n}, temos
\sigma\circ\tau \neq \tau\circ\sigma
já para n\ge3. Por exemplo, em \mathrm{S}_3 trocando primeiro 1\mapsto2 e depois 2\mapsto3 dá resultado diferente de fazer as trocas na ordem inversa. Portanto, para n\ge3, \mathrm{S}_{n} não é comutativa. (Obs.: \mathrm{S}_1 e \mathrm{S}_2 são casos triviais onde a composição acaba sendo comutativa, mas o grupo geral de permutações é não abeliano assim que n\ge3.)

Passo 4

Um elemento neutro para a composição de permutações é a permutação identidade \mathrm{id} que envia cada i em si mesmo, isto é, \mathrm{id}(i)=i para todo i. Para qualquer \sigma\in\mathrm{S}_{n} vale
\sigma\circ\mathrm{id}=\mathrm{id}\circ\sigma=\sigma.
Logo, \mathrm{S}_{n} possui elemento neutro.

Resposta

(a) \bigl(\mathrm{S}_{n},\circ\bigr) é finita, pois tem n! elementos.
(b) Não é comutativa para n\ge3.
(c) Possui elemento neutro, que é a permutação identidade.

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