(12.) Determine uma aproximação de raiz3 correta até 10^-4, utilizando o Algoritmo da Bissecção. [Sugestão: considere f(x)=x^2-3.]

Passo 1

Beleza, vamos aproximar f(x)=x^2-3=0 usando o método da bissecção. O conteúdo aqui é análise numérica: nosso objetivo é achar um tal que
com erro menor que . Para isso a gente precisa de:
  1. Uma função contínua .
  2. Um intervalo inicial onde e tenham sinais opostos.
  3. A lógica da bissecção: calcular o ponto médio, ver o sinal de lá, e ir encurtando o intervalo até atingir a precisão desejada.

Passo 2

Definimos
f(x)=x^2-3
Escolhemos o intervalo inicial f(1)=1^2-3=-2<0, f(2)=2^2-3=1>0, porque
bk - ak <= 2cdot10^-4,
logo existe pelo menos uma raiz em .
Critério de parada: vamos parar quando o comprimento do intervalo for
pois daí a meio-intervalo , garantindo erro menor que .

Passo 3

Agora aplicamos iterações de bissecção. Em cada passo mk=ak+bk2, f(mk)=mk^2-3, temos b12-a12 =1.732666015625-1.732421875 =0.000244140625 , calculamos
b13-a13 =1.732666015625-1.7325439453125 =0.0001220703125 <=2times10^-4
e criamos o próximo intervalo conforme o sinal de .
Vamos resumir as iterações até :
Iteração k Novo intervalo
1 1.000000 2.000000 1.500000
2 1.500000 2.000000 1.750000
3 1.500000 1.750000 1.625000
4 1.625000 1.750000 1.687500
5 1.687500 1.750000 1.718750
6 1.718750 1.750000 1.734375
7 1.718750 1.734375 1.7265625
8 1.7265625 1.734375 1.73046875
9 1.73046875 1.734375 1.732421875
10 1.732421875 1.734375 1.7333984375
11 1.732421875 1.7333984375 1.73291015625
12 1.732421875 1.73291015625 1.732666015625
Aqui, após a iteração 12, o intervalo vale
ainda maior que . Vamos mais uma:
13 | 1.732421875 | 1.732666015625 | 1.7325439453125 | |
Agora
Pronto! A partir daqui o meio-intervalo é .

Resposta

A aproximação escolhida é o ponto médio final
x13 ;=;1.7325439453125 + 1.7326660156252 ;=;1.73260498046875
Como só precisamos de erro até boxedraiz3 approx 1.7326 , basta arredondar em 4 casas decimais:

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