(12.) Determine uma aproximação de
correta até
, utilizando o Algoritmo da Bissecção. [Sugestão: considere
.]
Passo 1
Beleza, vamos aproximar
usando o método da bissecção. O conteúdo aqui é análise numérica: nosso objetivo é achar um
tal que
com erro menor que
. Para isso a gente precisa de:
- Uma função contínua
. - Um intervalo inicial
onde e tenham sinais opostos. - A lógica da bissecção: calcular o ponto médio, ver o sinal de
lá, e ir encurtando o intervalo até atingir a precisão desejada.
Passo 2
Definimos
Escolhemos o intervalo inicial
porque
logo existe pelo menos uma raiz em
.
Critério de parada: vamos parar quando o comprimento do intervalo for
Critério de parada: vamos parar quando o comprimento do intervalo
pois daí a meio-intervalo
, garantindo erro menor que
.
Passo 3
Agora aplicamos iterações de bissecção. Em cada passo
temos
, calculamos
e criamos o próximo intervalo
conforme o sinal de
.
Vamos resumir as iterações até :
Vamos resumir as iterações até
Iteração k |
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Novo intervalo |
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1 | 1.000000 | 2.000000 | 1.500000 |
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2 | 1.500000 | 2.000000 | 1.750000 |
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3 | 1.500000 | 1.750000 | 1.625000 |
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4 | 1.625000 | 1.750000 | 1.687500 |
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5 | 1.687500 | 1.750000 | 1.718750 |
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6 | 1.718750 | 1.750000 | 1.734375 |
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7 | 1.718750 | 1.734375 | 1.7265625 |
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8 | 1.7265625 | 1.734375 | 1.73046875 |
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9 | 1.73046875 | 1.734375 | 1.732421875 |
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10 | 1.732421875 | 1.734375 | 1.7333984375 |
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11 | 1.732421875 | 1.7333984375 | 1.73291015625 |
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12 | 1.732421875 | 1.73291015625 | 1.732666015625 |
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Aqui, após a iteração 12, o intervalo vale
ainda maior que
. Vamos mais uma:
13 | 1.732421875 | 1.732666015625 | 1.7325439453125 |
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Agora
Pronto! A partir daqui o meio-intervalo é
.
Resposta
A aproximação escolhida é o ponto médio final
Como só precisamos de erro até
, basta arredondar em 4 casas decimais: