- Utilize o Teorema 2.1 para determinar um limitante para o número de iterações necessárias para obter uma aproximação com precisão de
da solução de
dentro do intervalo [1, 2]. Determine uma aproximação da raiz com essa ordem de precisão.
Passo 1
Beleza, o exercício manda usar o Teorema 2.1 (o do ponto fixo contrátil) para achar um limite de quantas iterações precisamos pra aproximar a raiz de
com erro menor que
dentro de
.
Conteúdo: Teorema do Ponto Fixo por Contracção.
O que vamos precisar:
Conteúdo: Teorema do Ponto Fixo por Contracção.
O que vamos precisar:
- Reescrever a equação na forma
. - Mostrar que
é contracção (i.e.\ ). - Aplicar a fórmula do Teorema que dá o número mínimo de iterações
para . - Finalmente iterar
até atingir essa precisão.
Passo 2
Transformação em
.
Da eq.\ isolamos
Da eq.\
Agora vamos ver o derivado:
No intervalo
, o máximo de
ocorre em
, então
Isso mostra que
é contração em
.
Passo 3
Fórmula do Teorema (erro a partir de
):
Escolhemos
. Então
Queremos
.
Isolando :
Isolando
Substituindo
e fazendo as contas, dá
Como
tem que ser inteiro, precisamos de, no máximo,
iterações.
Passo 4
Vamos iterar até
(ou até o erro ficar menor que
).
x₀ = 1
x₁ = (1+1)¹ᐟ³ ≈ 1.26
x₂ = (1+1.26)¹ᐟ³ ≈ 1.3126
x₃ ≈ (1+1.3126)¹ᐟ³ ≈ 1.3224
x₄ ≈ 1.3243
x₅ ≈ 1.3247
x₆ ≈ 1.3248
Já no quinto ou sexto passo a mudança fica menor que .
x₀ = 1
x₁ = (1+1)¹ᐟ³ ≈ 1.26
x₂ = (1+1.26)¹ᐟ³ ≈ 1.3126
x₃ ≈ (1+1.3126)¹ᐟ³ ≈ 1.3224
x₄ ≈ 1.3243
x₅ ≈ 1.3247
x₆ ≈ 1.3248
Já no quinto ou sexto passo a mudança fica menor que
Resposta
Número máximo de iterações: 6
Aproximação da raiz com precisão :
Aproximação da raiz com precisão