1. Utilize o Teorema 2.1 para determinar um limitante para o número de iterações necessárias para obter uma aproximação com precisão de 10^-4 da solução de x^3-x-1=0 dentro do intervalo [1, 2]. Determine uma aproximação da raiz com essa ordem de precisão.

Passo 1

Beleza, o exercício manda usar o Teorema 2.1 (o do ponto fixo contrátil) para achar um limite de quantas iterações precisamos pra aproximar a raiz de
x^3 - x - 1 = 0
com erro menor que dentro de .
Conteúdo: Teorema do Ponto Fixo por Contracção.
O que vamos precisar:
  • Reescrever a equação na forma .
  • Mostrar que é contracção (i.e.\ ).
  • Aplicar a fórmula do Teorema que dá o número mínimo de iterações para .
  • Finalmente iterar até atingir essa precisão.

Passo 2

Transformação em x = raiz[,3],1 + x,;;longrightarrow;;g(x)=l(1+xr)^1/3.
Da eq.\ g'(x)=13(1+x)^-2/3 isolamos
k=max[1,2]|g'(x)|=13(1+1)^-2/3 =13cdot 2^2/3approx0.21<1
Agora vamos ver o derivado:
No intervalo , o máximo de ocorre em , então
Isso mostra que é contração em .

Passo 3

Fórmula do Teorema (erro a partir de |xn - alpha|<= k^n1-k,|x1-x0| ):
x1=g(1)=2^1/3, |x1-x0|=2^1/3-1approx0.26
Escolhemos k^n < (1-k),10^-40.26 Longrightarrow n > ln!l[(1-k),10^-40.26r]ln(k) . Então
n > ln(0.79cdot10^-4/0.26)ln(0.21) approx ln(3.04times10^-4)ln(0.21) approx -8.10-1.56approx5.19
Queremos .
Isolando :
Substituindo e fazendo as contas, dá
Como tem que ser inteiro, precisamos de, no máximo, iterações.

Passo 4

Vamos iterar até (ou até o erro ficar menor que ).
x₀ = 1
x₁ = (1+1)¹ᐟ³ ≈ 1.26
x₂ = (1+1.26)¹ᐟ³ ≈ 1.3126
x₃ ≈ (1+1.3126)¹ᐟ³ ≈ 1.3224
x₄ ≈ 1.3243
x₅ ≈ 1.3247
x₆ ≈ 1.3248
Já no quinto ou sexto passo a mudança fica menor que .

Resposta

Número máximo de iterações: 6
Aproximação da raiz com precisão xapprox 1.3247 :

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