Utilize o método da Bissecção para determinar as soluções com precisão de 10^-5 para os problemas a seguir.
x cos x-2 x^2+3 x-1=0 para 0,2 <= x <= 0,3 e 1,2 <= x <= 1,3

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra usar o método da bissecção e achar as raízes de
f(x)=xcos x -2x^2 +3x -1=0
nos intervalos [0,2,0,3] e [1,2,1,3], com precisão de 10^-5.
Isso é um assunto de Métodos Numéricos: a gente precisa saber que, se em um intervalo [a,b] a função satisfaz f(a)cdot f(b)<0, existe pelo menos uma raiz. A ideia é: a cada passo a gente calcula o ponto médio
c=a+b2,
veja o sinal de f(c) e escolhe o subintervalo onde ainda há mudança de sinal. Repete isso até que |b-a|<10^-5.

Passo 2

Intervalo [0,2,0,3]:
  1. Definimos
    f(x)=xcos x -2x^2 +3x -1
    2) Avaliamos nas pontas:
    f(0,2)=0,2cos(0,2)-2(0,2)^2+3(0,2)-1approx -0,28399<0,
    f(0,3)=0,3cos(0,3)-2(0,3)^2+3(0,3)-1approx +0,00660>0
    Como os sinais são opostos, tem raiz aí.
  2. Iteração do método da bissecção (algumas primeiras iterações para ver a lógica):
    • It 1: a=0,2, b=0,3, c=0,25, f(0,25)approx-0,13277<0;Rightarrow;a0,25
      - It 2: a=0,25, b=0,3,
      c=0,275,; f(0,275)approx-0,06157<0;Rightarrow;a0,275
    • It 3: a=0,275, b=0,3, c=0,2875,; f(0,2875)approx-0,02701<0;Rightarrow;a0,2875
      - It 4: a=0,2875, b=0,3,
      c=0,29375,; f(0,29375)approx-0,01037<0;Rightarrow;a0,29375
    • It 5: a=0,29375, b=0,3, c=0,296875,; f(0,296875)approx-0,00261<0;Rightarrow;a0,296875
      - It 6: a=0,296875, b=0,3,
      c=0,2984375,; f(0,2984375)approx+0,00213>0;Rightarrow;b0,2984375
  3. A cada iteração o intervalo [a,b] vai pela metade. Continuamos esse processo até que
    |b-a|<10^-5
    Depois de cerca de 14 iterações a gente chega em
    x1approx0,29762

Passo 3

Intervalo [1,2,1,3]:
  1. Avaliamos nas pontas:
    f(1,2)approx+0,15483>0, f(1,3)approx-0,13259<0,
    então há raiz no meio.
  2. Algumas iterações iniciais:
    • It 1: a=1,2, b=1,3, c=1,25,; f(1,25)approx+0,01915>0;Rightarrow;a1,25
      - It 2: a=1,25, b=1,3,
      c=1,275,; f(1,275)approx-0,02550<0;Rightarrow;b1,275
    • It 3: a=1,25, b=1,275, c=1,2625,; f(1,2625)approx-0,00302<0;Rightarrow;b1,2625
      - It 4: a=1,25, b=1,2625,
      c=1,25625,; f(1,25625)approx+0,00277>0;Rightarrow;a1,25625
  3. Repetindo até |b-a|<10^-5 (mais ou menos 14 iterações) a gente encontra
    x2approx1,25587

Resposta

As raízes aproximadas (com precisão 10^-5) são:
x1approx0,29762, x2approx1,25587

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