Utilize o método da Bissecção para determinar as soluções com precisão de
para os problemas a seguir.
para
Passo 1
Beleza, temos que achar a raiz da função
no intervalo
usando o método da bissecção até termos precisão de
.
Isso é parte de “Métodos Numéricos para Equações Não-Lineares”.
O que vamos precisar:
Isso é parte de “Métodos Numéricos para Equações Não-Lineares”.
O que vamos precisar:
- Avaliar
e e garantir que tenham sinais opostos (então existe raiz). - Iterar definindo o ponto médio
, calcular e escolher o novo subintervalo ou onde o sinal de muda. - Parar quando o tamanho do intervalo
for menor que (garante erro em menor que ).
Passo 2
Definimos:
Calculando nos extremos:
f(0)=
f(1)=
Como , temos uma raiz em
.
f(0)=
f(1)=
Como
Passo 3
Teoria rápida do método da bissecção:
- Você começa com
tal que e têm sinais opostos. - Em cada iteração, calcula
e . - Se
, a raiz está em ; senão está em . - Repete até
.
Passo 4
Vamos iterar e ficar de olho em
:
- a₀=0, b₀=1 → c₁=0.5, f(c₁)>0 → novo intervalo
- c₂=0.75, f(c₂)>0 →
- c₃=0.875, f(c₃)>0 →
- c₄=0.9375, f(c₄)>0 →
- c₅=0.96875,f(c₅)>0 →
- c₆=0.984375,f(c₆)<0 →
Passo 5
Continuando até
. Acompanhe as últimas iterações:
-
→ c₇=0.9765625, f(c₇)<0 → -
→ c₈=0.97265625, f(c₈)>0 → -
→ c₉=0.974609375, f(c₉)>0 → -
→ c₁₀=0.975585938, f(c₁₀)>0 → -
→ c₁₁=0.976074219, f(c₁₁)<0 →
intervalo com largura ≈0.00048828 - c₁₂=0.975830078, largura ≈0.00024414
- c₁₃=0.975952148, largura ≈0.00012207
- c₁₄=0.976013184, largura ≈0.00006104
- c₁₅=0.975982666, largura ≈0.00003052
- c₁₆=0.975967407, largura ≈0.00001526 < 2·10⁻⁵ → paramos
Resposta
A aproximação da raiz, com erro em
menor que
, é