Utilize o método da Bissecção para determinar as soluções com precisão de 10^-5 para os problemas a seguir.
x+3 cos x-e^x=0 para 0 <= x <= 1

Passo 1

Beleza, temos que achar a raiz da função
f(x)=x+3cos x - e^x
no intervalo usando o método da bissecção até termos precisão de .
Isso é parte de “Métodos Numéricos para Equações Não-Lineares”.
O que vamos precisar:
  1. Avaliar e e garantir que tenham sinais opostos (então existe raiz).
  2. Iterar definindo o ponto médio , calcular e escolher o novo subintervalo ou onde o sinal de muda.
  3. Parar quando o tamanho do intervalo for menor que (garante erro em menor que ).

Passo 2

Definimos:
f(x)=x+3cos x - e^x
Calculando nos extremos:
f(0)=
f(1)=
Como , temos uma raiz em .

Passo 3

Teoria rápida do método da bissecção:
  • Você começa com tal que e têm sinais opostos.
  • Em cada iteração, calcula e .
  • Se , a raiz está em ; senão está em .
  • Repete até â.

Passo 4

Vamos iterar e ficar de olho em :
  1. a₀=0, b₀=1 → c₁=0.5, f(c₁)>0 → novo intervalo
  2. c₂=0.75, f(c₂)>0 →
  3. c₃=0.875, f(c₃)>0 →
  4. c₄=0.9375, f(c₄)>0 →
  5. c₅=0.96875,f(c₅)>0 →
  6. c₆=0.984375,f(c₆)<0 →

Passo 5

Continuando até . Acompanhe as últimas iterações:
  1. → c₇=0.9765625, f(c₇)<0 →
  2. → c₈=0.97265625, f(c₈)>0 →
  3. → c₉=0.974609375, f(c₉)>0 →
  4. → c₁₀=0.975585938, f(c₁₀)>0 →
  5. → c₁₁=0.976074219, f(c₁₁)<0 →
    intervalo com largura ≈0.00048828
  6. c₁₂=0.975830078, largura ≈0.00024414
  7. c₁₃=0.975952148, largura ≈0.00012207
  8. c₁₄=0.976013184, largura ≈0.00006104
  9. c₁₅=0.975982666, largura ≈0.00003052
  10. c₁₆=0.975967407, largura ≈0.00001526 < 2·10⁻⁵ → paramos

Resposta

A aproximação da raiz, com erro em boxedxapprox0.9759674 menor que , é

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