Um automóvel percorreu 160 km numa rodovia que liga duas cidades e gastou, neste trajeto, 2 horas e 20 minutos. A tabela abaixo dá o tempo gasto e a distância percorrida em alguns pontos entre as duas cidades.
Tempo
(min)
Distância
(km)
0 0
10 8
30 27
60 58
90 100
120 145
140 160
Determine:
Quantos minutos o automóvel gastou para chegar à metade do caminho?

Passo 1

O enunciado dá uma tabela com tempos (em minutos) e distâncias (em km) percorridas pelo automóvel em vários pontos. Ele informa também que o automóvel percorreu no total 160 km e gastou 2 horas e 20 minutos nesse trajeto. A pergunta é: quantos minutos o automóvel gastou para chegar à metade do caminho?\n
Dados relevantes extraídos da tabela e do enunciado:
\begin{array}{c|c} \text{Tempo (min)} & \text{Distância (km)}\\hline 0 & 0\\\\ 10 & 8\\\\ 30 & 27\\\\ 60 & 58\\\\ 90 & 100\\\\ 120 & 145\\\\ 140 & 160 \end{array}â
Metade do caminho corresponde a metade de 160 km, ou seja, 80 km. Precisamos determinar o tempo (em minutos desde o início) em que a distância alcança 80 km.

Passo 2

Vamos localizar na tabela entre quais tempos a distância passa por 80 km. Observando a tabela:
\text{em }60\text{ min a distância é }58\text{ km,}âé
\text{em }90\text{ min a distância é }100\text{ km.}âé
Logo, 80 km está entre 58 km e 100 km, ou seja, entre 60 min e 90 min. Para estimar o instante em que a distância vale exatamente 80 km, usamos interpolação linear entre esses dois pontos (assumimos que, entre observações consecutivas, a velocidade média é aproximadamente constante — é o procedimento padrão para esse tipo de tabela e suficiente para a prova).
Explicando o conceito de interpolação linear (mini-aula): se temos dois pontos (t_1,d_1) e (t_2,d_2) e queremos o tempo t em que a distância vale d com d_1\le d\le d_2, assumimos que entre t_1 e t_2 a relação distância-tempo é aproximadamente linear. A razão (declive) é a velocidade média entre os pontos:
m=\frac{\Delta d}{\Delta t}=\frac{d_2-d_1}{t_2-t_1},
e o incremento de tempo necessário para aumentar a distância de d_1 até d é
\Delta t=\frac{d-d_1}{m}.
Então o tempo buscado é t=t_1+\Delta t.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso com (t_1,d_1)=(60,58) e (t_2,d_2)=(90,100):
Calculemos o declive (velocidade média entre 60 min e 90 min):
m=\frac{100-58}{90-60}=\frac{42}{30}.
Simplificando,
m=\frac{42}{30}=\frac{21}{15}=\frac{7}{5}=1{,}4\\ \text{km/min}.
Interpretação: entre 60 e 90 minutos o carro percorre, em média, 1{,}4 km a cada minuto.

Passo 4

Agora determinamos quanto tempo leva para ir de 58 km (em 60 min) até 80 km:
A distância a percorrer é
\Delta d = 80-58 = 22\\ \text{km}.
Usando \Delta t=\dfrac{\Delta d}{m},
\Delta t=\frac{22}{1{,}4}.
Calculemos com frações para ficar exato:
1{,}4=\frac{14}{10}=\frac{7}{5},
então
\Delta t=\frac{22}{7/5}=22\cdot\frac{5}{7}=\frac{110}{7}\\ \text{min}.
Escrevendo em número misto,
\frac{110}{7}=15+\frac{5}{7}\\ \text{min}=15{,}714285\ldots\\ \text{min}.

Passo 5

O tempo absoluto desde o início é o tempo base 60 min mais esse incremento:
t = 60 + \frac{110}{7} = \frac{420+110}{7}=\frac{530}{7}\\ \text{min}.
Convertendo \frac{530}{7} em minutos e segundos:
\frac{530}{7}=75+\frac{5}{7}\\ \text{min}.
A parte fracionária \frac{5}{7} minuto em segundos é
\frac{5}{7}\times 60 = \frac{300}{7}=42{,}857\ldots\\ \text{s}\approx 43\\ \text{s}.
Portanto o automóvel alcança 80 km aos 75 minutos e aproximadamente 43 segundos após o início do percurso.

Resposta

\,75\\ \text{min}\\\ 43\\ \text{s}

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