Um automóvel percorreu 160 km numa rodovia que liga duas cidades e gastou, neste trajeto, 2 horas e 20 minutos. A tabela abaixo dá o tempo gasto e a distância percorrida em alguns pontos entre as duas cidades.
Tempo
(min)
Distância
(km)
0
0
10
8
30
27
60
58
90
100
120
145
140
160
Determine:
Quantos minutos o automóvel gastou para chegar à metade do caminho?
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| 10 | 8 | ||||
| 30 | 27 | ||||
| 60 | 58 | ||||
| 90 | 100 | ||||
| 120 | 145 | ||||
| 140 | 160 |
Quantos minutos o automóvel gastou para chegar à metade do caminho?
Passo 1
O enunciado dá uma tabela com tempos (em minutos) e distâncias (em km) percorridas pelo automóvel em vários pontos. Ele informa também que o automóvel percorreu no total
km e gastou
horas e
minutos nesse trajeto. A pergunta é: quantos minutos o automóvel gastou para chegar à metade do caminho?\n
Dados relevantes extraídos da tabela e do enunciado:
Dados relevantes extraídos da tabela e do enunciado:
Metade do caminho corresponde a metade de
km, ou seja,
km. Precisamos determinar o tempo (em minutos desde o início) em que a distância alcança
km.
Passo 2
Vamos localizar na tabela entre quais tempos a distância passa por
km. Observando a tabela:
Logo,
km está entre
km e
km, ou seja, entre
min e
min. Para estimar o instante em que a distância vale exatamente
km, usamos interpolação linear entre esses dois pontos (assumimos que, entre observações consecutivas, a velocidade média é aproximadamente constante — é o procedimento padrão para esse tipo de tabela e suficiente para a prova).
Explicando o conceito de interpolação linear (mini-aula): se temos dois pontos
e
e queremos o tempo
em que a distância vale
com
, assumimos que entre
e
a relação distância-tempo é aproximadamente linear. A razão (declive) é a velocidade média entre os pontos:
e o incremento de tempo necessário para aumentar a distância de
até
é
Então o tempo buscado é
.
Passo 3
Aplicando ao nosso caso com
e
:
Calculemos o declive (velocidade média entre 60 min e 90 min):
Simplificando,
Interpretação: entre
e
minutos o carro percorre, em média,
km a cada minuto.
Passo 4
Agora determinamos quanto tempo leva para ir de
km (em
min) até
km:
A distância a percorrer é
Usando
,
Calculemos com frações para ficar exato:
então
Escrevendo em número misto,
Passo 5
O tempo absoluto desde o início é o tempo base
min mais esse incremento:
Convertendo
em minutos e segundos:
A parte fracionária
minuto em segundos é
Portanto o automóvel alcança
km aos
minutos e aproximadamente
segundos após o início do percurso.