9 Determine o valor aproximado de
, usando todos os pontos tabelados da função
. Utilize a Fórmula de Interpolação de Newton.
0,0
1,008
0,2
1,064
0,3
1,125
0,5
1,343
0,6
1,512
|
|
|
| 0,0 | 1,008 |
| 0,2 | 1,064 |
| 0,3 | 1,125 |
| 0,5 | 1,343 |
| 0,6 | 1,512 |
Passo 1
O enunciado pede: determinar o valor aproximado de
usando todos os pontos tabelados da função
e a Fórmula de Interpolação de Newton. Os pontos fornecidos são:
Ou seja, explicitamente:
Vou usar todos esses pontos para construir o polinômio de Newton e então calcular seu valor em
.
Passo 2
Explicando a técnica (passo-a-passo como numa aula curta): a Interpolação de Newton constrói um polinômio que passa por todos os pontos dados usando diferenças divididas. As ideias-chave:
- Definição de diferença dividida de primeira ordem:
Isto é a “inclinação média” entre dois pontos.
- Diferenças divididas de ordem superior são definidas recursivamente:
Ou seja, cada nível usa os resultados do nível anterior.
- O polinômio de Newton, na forma incremental, é:
Cada coeficiente
é uma diferença dividida. Depois de obter os coeficientes, avalia-se
no ponto desejado.
Agora vamos calcular as diferenças divididas usando os pontos dados, com calma e mostrando as contas.
Passo 3
Calcular as diferenças divididas de primeira ordem (vou mostrar cada subtração e divisão):
Anotei:
,
,
,
.
Passo 4
Agora diferenças divididas de segunda ordem, usando a fórmula recursiva:
Anotei:
,
,
.
Passo 5
Diferenças divididas de terceira ordem:
Anotei: ambos são
.
Passo 6
Diferença dividida de quarta ordem (usando os dois terços calculados):
Observação importante (útil na prova): o coeficiente de ordem 4 é
. Isso significa que os dados estão exatamente sobre um polinômio de grau ≤3 e o termo de ordem 4 some. Então o polinômio de Newton efetivo terá até termo cúbico.
Passo 7
Escrever o polinômio de Newton com os coeficientes encontrados. Na forma incremental:
Substituindo os valores (todos já calculados):
Repare que o coeficiente de quarta ordem é zero, por isso não aparece.
Passo 8
Avaliar
em
. Vou calcular termo a termo de maneira explícita:
-
Primeiro termo (constante):
. -
Termo linear:
- Termo quadrático:
Calcule
. Então
- Termo cúbico:
Calcule
e
. Como o coeficiente é
, o termo é
.
Somando todos os termos:
Agora a soma:
Portanto a estimativa final é
. (Repare que os cálculos deram coeficiente de ordem 4 igual a zero, o que simplificou a expressão — bom para a prova!)
Paso 9
Força aí — lembra: no exame, faça a tabela de diferenças divididas com calma, linha a linha; isso organiza a conta e evita erro. Aqui os passos foram: calcular diferenças de 1ª ordem, depois 2ª, 3ª, etc., montar o polinômio de Newton e avaliar no ponto. Se tiver tempo, verificar somas duas vezes.