9 Determine o valor aproximado de \mathrm{f}(0,4), usando todos os pontos tabelados da função \mathrm{f}(\mathrm{x}). Utilize a Fórmula de Interpolação de Newton.
\mathbf{x} \mathbf{y}
0,0 1,008
0,2 1,064
0,3 1,125
0,5 1,343
0,6 1,512

Passo 1

O enunciado pede: determinar o valor aproximado de \mathrm{f}(0,4) usando todos os pontos tabelados da função \mathrm{f}(x) e a Fórmula de Interpolação de Newton. Os pontos fornecidos são:
(0,0,\;1,008),\quad (0,2,\;1,064),\quad (0,3,\;1,125),\quad (0,5,\;1,343),\quad (0,6,\;1,512).
Ou seja, explicitamente:
x_0=0,0,\; y_0=1,008; \qquad x_1=0,2,\; y_1=1,064; \qquad x_2=0,3,\; y_2=1,125; \qquad x_3=0,5,\; y_3=1,343; \qquad x_4=0,6,\; y_4=1,512.
Vou usar todos esses pontos para construir o polinômio de Newton e então calcular seu valor em x=0,4.

Passo 2

Explicando a técnica (passo-a-passo como numa aula curta): a Interpolação de Newton constrói um polinômio que passa por todos os pontos dados usando diferenças divididas. As ideias-chave:
  1. Definição de diferença dividida de primeira ordem:
f[x_i,x_{i+1}] = \frac{f(x_{i+1})-f(x_i)}{x_{i+1}-x_i}.
Isto é a “inclinação média” entre dois pontos.
  1. Diferenças divididas de ordem superior são definidas recursivamente:
f[x_i,\dots,x_{i+k}] = \frac{f[x_{i+1},\dots,x_{i+k}] - f[x_i,\dots,x_{i+k-1}]}{x_{i+k}-x_i}.
Ou seja, cada nível usa os resultados do nível anterior.
  1. O polinômio de Newton, na forma incremental, é:
P(x)=f[x_0] + f[x_0,x_1](x-x_0) + f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1) + \cdots.
Cada coeficiente f[\cdots] é uma diferença dividida. Depois de obter os coeficientes, avalia-se P(x) no ponto desejado.
Agora vamos calcular as diferenças divididas usando os pontos dados, com calma e mostrando as contas.

Passo 3

Calcular as diferenças divididas de primeira ordem (vou mostrar cada subtração e divisão):
f[x_0,x_1]=\frac{1,064-1,008}{0,2-0,0}=\frac{0,056}{0,2}=0,28.
f[x_1,x_2]=\frac{1,125-1,064}{0,3-0,2}=\frac{0,061}{0,1}=0,61.
f[x_2,x_3]=\frac{1,343-1,125}{0,5-0,3}=\frac{0,218}{0,2}=1,09.
f[x_3,x_4]=\frac{1,512-1,343}{0,6-0,5}=\frac{0,169}{0,1}=1,69.
Anotei: f[x_0,x_1]=0,28, f[x_1,x_2]=0,61, f[x_2,x_3]=1,09, f[x_3,x_4]=1,69.

Passo 4

Agora diferenças divididas de segunda ordem, usando a fórmula recursiva:
f[x_0,x_1,x_2]=\frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_0}=\frac{0,61-0,28}{0,3-0,0}=\frac{0,33}{0,3}=1,1.
f[x_1,x_2,x_3]=\frac{f[x_2,x_3]-f[x_1,x_2]}{x_3-x_1}=\frac{1,09-0,61}{0,5-0,2}=\frac{0,48}{0,3}=1,6.
f[x_2,x_3,x_4]=\frac{f[x_3,x_4]-f[x_2,x_3]}{x_4-x_2}=\frac{1,69-1,09}{0,6-0,3}=\frac{0,60}{0,3}=2,0.
Anotei: f[x_0,x_1,x_2]=1,1, f[x_1,x_2,x_3]=1,6, f[x_2,x_3,x_4]=2,0.

Passo 5

Diferenças divididas de terceira ordem:
f[x_0,x_1,x_2,x_3]=\frac{f[x_1,x_2,x_3]-f[x_0,x_1,x_2]}{x_3-x_0}=\frac{1,6-1,1}{0,5-0,0}=\frac{0,5}{0,5}=1,0.
f[x_1,x_2,x_3,x_4]=\frac{f[x_2,x_3,x_4]-f[x_1,x_2,x_3]}{x_4-x_1}=\frac{2,0-1,6}{0,6-0,2}=\frac{0,4}{0,4}=1,0.
Anotei: ambos são 1,0.

Passo 6

Diferença dividida de quarta ordem (usando os dois terços calculados):
f[x_0,x_1,x_2,x_3,x_4]=\frac{f[x_1,x_2,x_3,x_4]-f[x_0,x_1,x_2,x_3]}{x_4-x_0}=\frac{1,0-1,0}{0,6-0,0}=\frac{0}{0,6}=0.
Observação importante (útil na prova): o coeficiente de ordem 4 é 0. Isso significa que os dados estão exatamente sobre um polinômio de grau ≤3 e o termo de ordem 4 some. Então o polinômio de Newton efetivo terá até termo cúbico.

Passo 7

Escrever o polinômio de Newton com os coeficientes encontrados. Na forma incremental:
P(x)=f[x_0] + f[x_0,x_1](x-x_0) + f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1) + f[x_0,x_1,x_2,x_3](x-x_0)(x-x_1)(x-x_2).
Substituindo os valores (todos já calculados):
P(x)=1,008 + 0,28\,(x-0,0) + 1,1\,(x-0,0)(x-0,2) + 1,0\,(x-0,0)(x-0,2)(x-0,3).
Repare que o coeficiente de quarta ordem é zero, por isso não aparece.

Passo 8

Avaliar P(x) em x=0,4. Vou calcular termo a termo de maneira explícita:
  1. Primeiro termo (constante): 1,008.
  2. Termo linear:
0,28\,(0,4-0,0)=0,28\cdot 0,4 = 0,112.
  1. Termo quadrático:
1,1\,(0,4-0,0)(0,4-0,2)=1,1\cdot 0,4\cdot 0,2.
Calcule 0,4\cdot 0,2=0,08. Então
1,1\cdot 0,08 = 0,088.
  1. Termo cúbico:
1,0\,(0,4-0,0)(0,4-0,2)(0,4-0,3)=1,0\cdot 0,4\cdot 0,2\cdot 0,1.
Calcule 0,4\cdot 0,2=0,08 e 0,08\cdot 0,1=0,008. Como o coeficiente é 1,0, o termo é 0,008.
Somando todos os termos:
P(0,4)=1,008 + 0,112 + 0,088 + 0,008.
Agora a soma:
1,008 + 0,112 = 1,120,
1,120 + 0,088 = 1,208,
1,208 + 0,008 = 1,216.
Portanto a estimativa final é 1,216. (Repare que os cálculos deram coeficiente de ordem 4 igual a zero, o que simplificou a expressão — bom para a prova!)

Paso 9

Força aí — lembra: no exame, faça a tabela de diferenças divididas com calma, linha a linha; isso organiza a conta e evita erro. Aqui os passos foram: calcular diferenças de 1ª ordem, depois 2ª, 3ª, etc., montar o polinômio de Newton e avaliar no ponto. Se tiver tempo, verificar somas duas vezes.

Resposta

1,216

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