9.12 As estruturas de 20 recém-nascidos foram tomadas no Departamento de Pediatria da FMRP, cujos resultados saio, em centimetros:
llllllllll41 & 50 & 52 & 49 & 49 & 54 & 50 & 47 & 52 & 49
lllllllll50 & 52 & 50 & 47 & 49 & 51 & 46 & 50 & 49 50
a) Supor inicialmente que a populaçăo das estaturas seja normal com variância de 2 cm^2. Testar a hipótese de que a média dessa normal é 50 cm . Admitir um risco de 5 % para comerer o Erro tipo L.
b) Fazer o mesmo teste para a média, mas agora desconhecendo a variància populacional.

Passo 1

Beleza, a questão traz as estaturas (em cm) de 20 bebês e pede pra testar se a altura média da população é 50 cm.
Conteúdo: teste de hipótese para a média de uma normal.
– No item (a) a variância populacional é dada ( sigma^2=2), então a gente usa o teste z.
– No item (b) sigma^2 é desconhecida, aí a gente usa o teste t de Student.
O que vamos precisar: calcular a média amostral, o desvio (quando for o caso), a estatística de teste e comparar com o valor crítico.

Passo 2

Antes de mais nada, vamos achar a média amostral bar x e, para o teste t, o desvio amostral s.
Dados:
x1,dots,x20=41,50,52,49,49,54,50,47,52,49,50,52,50,47,49,51,46,50,49,50
1) Soma dos dados:
sumi=1^20xi = 987
  1. Média amostral:
bar x = 98720=49,35 cm
3) Para o desvio amostral, precisamos de sum xi^2=48849, então
$$s^2 = \frac{1}{n-1}\Bigl(\sum x_i^2 - n,\bar x^2\Bigr)
= \frac{48849 - 20\cdot(49{,}35)^2}{19}\approx7{,}09,$$
s^2 = 1n-1l(sum xi^2 - n,bar x^2r) = 48849 - 20cdot(49,35)^219approx7,09,

Passo 3

Item (a): variância populacional conhecida ( sigma^2=2, logo sigma=raiz2approx1,414).
– Hipóteses:
H0:mu=50, H1:muneq50
– Estatística z:
z = bar x - 50sigma/raizn = 49,35 -501,414/raiz20 = -0,651,414/4,472 = -0,650,3162approx -2,06
– Região crítica (dois lados, alpha=0,05):
zalpha/2=pm1,96
Como |z|=2,06>1,96, a gente rejeita H0 no item (a).

Passo 4

Item (b): variância populacional desconhecida. Agora usamos t de Student com n-1=19 graus de liberdade.
– Mesmas hipóteses H0:mu=50 versus H1:muneq50.
– Estatística t:
t = bar x - 50s/raizn = -0,652,66/raiz20 = -0,652,66/4,472 = -0,650,5957approx -1,09
– Valor crítico (dois lados, alpha=0,05, nu=19):
t0,975;19approx pm2,093
Como |t|=1,09<2,093, NÃO rejeitamos H0 no item (b).

Resposta

a) Com variância conhecida ( sigma^2=2), rejeita-se H0 ao nível de 5%.
b) Com variância desconhecida, NÃO rejeita-se H0 ao nível de 5%.

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