9.12 As estruturas de 20 recém-nascidos foram tomadas no Departamento de Pediatria da FMRP, cujos resultados saio, em centimetros:
a) Supor inicialmente que a populaçăo das estaturas seja normal com variância de
. Testar a hipótese de que a média dessa normal é 50 cm . Admitir um risco de
para comerer o Erro tipo L.
b) Fazer o mesmo teste para a média, mas agora desconhecendo a variància populacional.
a) Supor inicialmente que a populaçăo das estaturas seja normal com variância de
b) Fazer o mesmo teste para a média, mas agora desconhecendo a variància populacional.
Passo 1
Beleza, a questão traz as estaturas (em cm) de 20 bebês e pede pra testar se a altura média da população é 50 cm.
Conteúdo: teste de hipótese para a média de uma normal.
– No item (a) a variância populacional é dada ( ), então a gente usa o teste
.
– No item (b) é desconhecida, aí a gente usa o teste
de Student.
O que vamos precisar: calcular a média amostral, o desvio (quando for o caso), a estatística de teste e comparar com o valor crítico.
Conteúdo: teste de hipótese para a média de uma normal.
– No item (a) a variância populacional é dada (
– No item (b)
O que vamos precisar: calcular a média amostral, o desvio (quando for o caso), a estatística de teste e comparar com o valor crítico.
Passo 2
Antes de mais nada, vamos achar a média amostral
e, para o teste
, o desvio amostral
.
Dados:
Dados:
1) Soma dos dados:
- Média amostral:
3) Para o desvio amostral, precisamos de
$$s^2 = \frac{1}{n-1}\Bigl(\sum x_i^2 - n,\bar x^2\Bigr)
= \frac{48849 - 20\cdot(49{,}35)^2}{19}\approx7{,}09,$$
Passo 3
Item (a): variância populacional conhecida (
, logo
).
– Hipóteses:
– Hipóteses:
– Estatística
:
– Região crítica (dois lados,
):
Como
, a gente rejeita
no item (a).
Passo 4
Item (b): variância populacional desconhecida. Agora usamos
de Student com
graus de liberdade.
– Mesmas hipóteses versus
.
– Estatística :
– Mesmas hipóteses
– Estatística
– Valor crítico (dois lados,
,
):
Como
, NÃO rejeitamos
no item (b).
Resposta
a) Com variância conhecida (
), rejeita-se
ao nível de 5%.
b) Com variância desconhecida, NÃO rejeita-se ao nível de 5%.
b) Com variância desconhecida, NÃO rejeita-se