Seja o sistema linear
.
(a) Usando o critério de linhas, verifique quais os valores positivos de
lx1 x2 x3 que garantem a convergência do Método de Gauss-Seidel.
(b) Repita o exercício utilizando o critério de Sassenfeld.
© Escolha o menor número inteiro, positivo, para k e realize duas iterações do método de GaussSeidel.
(a) Usando o critério de linhas, verifique quais os valores positivos de
(b) Repita o exercício utilizando o critério de Sassenfeld.
© Escolha o menor número inteiro, positivo, para k e realize duas iterações do método de GaussSeidel.
Passo 1
Beleza, temos um sistema linear
[
k & 3 & 1 k & 7 & 1 1 & 6 & 8 x1x2x3 = 123
]
Estamos em Métodos Numéricos, mais especificamente no Método de Gauss–Seidel.
Para (a) vamos usar critério de dominância por linhas (cada linha deve ter o elemento pivô maior que a soma dos outros termos),
para (b) vamos usar critério de Sassenfeld (índices ),
e em © vamos escolher o menor inteiro positivo que satisfaz e fazer duas iterações do Gauss–Seidel a partir de
.
Para (a) vamos usar critério de dominância por linhas (cada linha deve ter o elemento pivô maior que a soma dos outros termos),
para (b) vamos usar critério de Sassenfeld (índices
e em © vamos escolher o menor
Passo 2
(a) Critério de linhas quer que, para cada linha
|aii|>sumjneq i|aij| ,
Linha 1:
;
Linha 2: ;
;
Linha 3: ;
sempre ok.
Juntando tudo e lembrando :
Linha 2:
Linha 3:
Juntando tudo e lembrando
Passo 3
(b) Critério de Sassenfeld define
Precisamos de
.
- dá
.
- já vale.
- dá
.
No fim, para já garante tudo.
-
-
-
No fim, para
Passo 4
© O menor inteiro positivo que satisfaz (a) e (b) é
x1=1-3x2-x35, x2=2-5x1-x37, x3=3-x1-6x28 .
As equações de iteração Gauss–Seidel ficam:
As equações de iteração Gauss–Seidel ficam:
Começando em
x1^(2)=1-3cdot0,142857-0,2428575approx0,0657143, :
Iteração 1:
Iteração 1:
Iteração 2:
Resposta
(a) Converge pelo critério de linhas para
x^(2)approx(0,0657143,;0,2040816,;0,2137245) .
(b) Converge pelo critério de Sassenfeld para .
© Tomando , após duas iterações:
(b) Converge pelo critério de Sassenfeld para
© Tomando