Seja o sistema linear
lllk & 3 & 1 k & 7 & 1 1 & 6 & 8.
(a) Usando o critério de linhas, verifique quais os valores positivos de lx1 x2 x3 que garantem a convergência do Método de Gauss-Seidel.
(b) Repita o exercício utilizando o critério de Sassenfeld.
© Escolha o menor número inteiro, positivo, para k e realize duas iterações do método de GaussSeidel.

Passo 1

Beleza, temos um sistema linear
[
k & 3 & 1 k & 7 & 1 1 & 6 & 8 x1x2x3 = 123


]
Estamos em Métodos Numéricos, mais especificamente no Método de Gauss–Seidel.
Para (a) vamos usar critério de dominância por linhas (cada linha deve ter o elemento pivô maior que a soma dos outros termos),
para (b) vamos usar critério de Sassenfeld (índices ),
e em © vamos escolher o menor inteiro positivo que satisfaz e fazer duas iterações do Gauss–Seidel a partir de .

Passo 2

(a) Critério de linhas quer que, para cada linha |aii|>sumjneq i|aij| ,
4
Linha 1: ;
Linha 2: ; ;
Linha 3: ; sempre ok.
Juntando tudo e lembrando :

Passo 3

(b) Critério de Sassenfeld define
beta1=|3|+|1||k|=4k, beta2=|k|beta1+|1|7=4+17=57, beta3=|1|beta1+|6|beta28=tfrac4k+tfrac3078
Precisamos de .
- .
- já vale.
- .
No fim, para já garante tudo.

Passo 4

© O menor inteiro positivo que satisfaz (a) e (b) é x1=1-3x2-x35, x2=2-5x1-x37, x3=3-x1-6x28 .
As equações de iteração Gauss–Seidel ficam:
x1^(1)=15=0,2, x2^(1)=2-5cdot0,27=17approx0,142857, x3^(1)=3-0,2-6cdot0,1428578approx0,242857
Começando em x1^(2)=1-3cdot0,142857-0,2428575approx0,0657143, :
Iteração 1:
x2^(2)=2-5cdot0,0657143-0,2428577approx0,2040816,
Iteração 2:
x3^(2)=3-0,0657143-6cdot0,20408168approx0,2137245

Resposta

(a) Converge pelo critério de linhas para x^(2)approx(0,0657143,;0,2040816,;0,2137245) .
(b) Converge pelo critério de Sassenfeld para .
© Tomando , após duas iterações:

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