Seja um sistema matricial
, em que
e
.
(a) Verifique que tal sistema pode ser resolvido pela solução de
sistemas auxiliares
, em que
é a
-ésima coluna de
.
(b) Qual seria a vantagem de utilizar a fatoração
LU para a resolução deste sistema?
© Caso
e
, qual é a matriz
?
(a) Verifique que tal sistema pode ser resolvido pela solução de
(b) Qual seria a vantagem de utilizar a fatoração
© Caso
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente olhar um sistema matricial
onde
Conteúdo: sistemas lineares, multiplicação de matrizes, decomposição LU e inversa de matriz.
O que vamos precisar:
1. Entender que multiplicação de
2. Saber o que é fatoração
3. Saber que resolver
Passo 2
(a) Primeiro, escrevemos
Quando a gente faz
, cada coluna de
é transformada separadamente:
Para que isso seja igual a
, basta que
Ou seja, em vez de um “super-sistema”, você resolve
sistemas normais
.
Passo 3
(b) Agora, por que usar
?
- A fatoração
, onde é triangular inferior e é triangular superior, custa um esforço parecido com resolver um sistema só. - Depois de ter
e , cada novo sistema vira duas substituições simples: - resolve
(substituição para frente), - resolve
(substituição para trás).
Isso é muito mais rápido do que refazer eliminação de Gauss toda vez: a gente faz a parte “pesada” (fatorar) uma vez só e depois reaproveita.
- resolve
Passo 4
© Se
e
(a identidade), então estamos resolvendo
Mas isso é exatamente a definição de inversa de
. Logo
Resposta
(a) O sistema
equivale a
sistemas
.
(b) Usando , você fatoriza uma vez e depois resolve cada
com duas substituições triangulares, economizando tempo.
© Se e
, então
.
(b) Usando
© Se