Seja um sistema matricial A X=B, em que A in R^n times n, X in R^n times p e B in R^n times p.
(a) Verifique que tal sistema pode ser resolvido pela solução de p sistemas auxiliares A xk=bk, em que bk in R^n é a k-ésima coluna de B.
(b) Qual seria a vantagem de utilizar a fatoração A= LU para a resolução deste sistema?
© Caso p=n e B=I, qual é a matriz X ?

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente olhar um sistema matricial
A,X = B
onde é uma matriz quadrada , e são .
Conteúdo: sistemas lineares, multiplicação de matrizes, decomposição LU e inversa de matriz.
O que vamos precisar:
1. Entender que multiplicação de por age coluna a coluna.
2. Saber o que é fatoração e por que ela ajuda.
3. Saber que resolver .

Passo 2

(a) Primeiro, escrevemos
X = [,x1;;x2;;dots;;xp,], B = [,b1;;b2;;dots;;bp,]
Quando a gente faz A,X = A,[x1,x2cdots xp] = [,A,x1;;A,x2;;dots;;A,xp,] , cada coluna de A,xk = bk para k=1,2,dots,p é transformada separadamente:
Para que isso seja igual a , basta que
Ou seja, em vez de um “super-sistema”, você resolve sistemas normais .

Passo 3

(b) Agora, por que usar ?
  • A fatoração , onde é triangular inferior e é triangular superior, custa um esforço parecido com resolver um sistema só.
  • Depois de ter e , cada novo sistema vira duas substituições simples:
    1. resolve (substituição para frente),
    2. resolve (substituição para trás).
      Isso é muito mais rápido do que refazer eliminação de Gauss toda vez: a gente faz a parte “pesada” (fatorar) uma vez só e depois reaproveita.

Passo 4

© Se A,X = In e X = A^-1 (a identidade), então estamos resolvendo
Mas isso é exatamente a definição de inversa de . Logo

Resposta

(a) O sistema equivale a sistemas .
(b) Usando , você fatoriza uma vez e depois resolve cada com duas substituições triangulares, economizando tempo.
© Se e , então .

Exercícios relacionados