12 Seja
um número real. A sequência (
) satisfaz
para todo natural
e
. Determine
, para
.
Passo 1
O enunciado dá uma sequência
satisfazendo
para todo
, com condição inicial
Queremos encontrar uma fórmula fechada para
(para
). O conteúdo usado é a resolução de recorrência linear de primeira ordem não‐homogênea, somando solução homogênea e particular.
Passo 2
Primeiro encaramos a parte homogênea
A equação característica é
, logo
. Assim a solução geral homogênea é
onde
é constante a determinar.
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular do tipo
Substituindo em
, vem
Para igualar
precisamos de
, ou seja
(válido mesmo se
). Portanto
Passo 4
A solução geral da recorrência é
Usamos a condição
. Para
:
deve ser igual a
. Logo
Expandindo, vê‐se que a diferença é
. Assim
, ou seja
Passo 5
Substituindo
na solução geral, obtemos
para todo
.