12 Seja k um número real. A sequência ( a_{n} ) satisfaz
a_{n}+a_{n-1}=k(k-1)^{n-1} .
para todo natural n \geqslant 3 e a_{3}=k(k-1)(k-2). Determine a_{n}, para n \geqslant 3.

Passo 1

O enunciado dá uma sequência (a_n) satisfazendo
a_n + a_{n-1} = k\,(k-1)^{n-1}
para todo n\ge3, com condição inicial
a_3 = k\,(k-1)\,(k-2).
Queremos encontrar uma fórmula fechada para a_n (para n\ge3). O conteúdo usado é a resolução de recorrência linear de primeira ordem não‐homogênea, somando solução homogênea e particular.

Passo 2

Primeiro encaramos a parte homogênea
a_n + a_{n-1} = 0.
A equação característica é r + 1 = 0, logo r=-1. Assim a solução geral homogênea é
a_n^{(h)} = C\,(-1)^n,
onde C é constante a determinar.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular do tipo
a_n^{(p)} = A\,(k-1)^n.
Substituindo em a_n + a_{n-1} = k\,(k-1)^{n-1}, vem
A\,(k-1)^n + A\,(k-1)^{n-1} = A\,(k-1)^{n-1}\bigl((k-1)+1\bigr) = A\,k\,(k-1)^{n-1}.
Para igualar k\,(k-1)^{n-1} precisamos de A\,k = k, ou seja A=1 (válido mesmo se k=0). Portanto
a_n^{(p)} = (k-1)^n.

Passo 4

A solução geral da recorrência é
a_n = a_n^{(h)} + a_n^{(p)} = C\,(-1)^n + (k-1)^n.
Usamos a condição a_3 = k(k-1)(k-2). Para n=3:
a_3 = C\,(-1)^3 + (k-1)^3 = -C + (k-1)^3
deve ser igual a k(k-1)(k-2). Logo
-C = k(k-1)(k-2) - (k-1)^3.
Expandindo, vê‐se que a diferença é 1-k. Assim -C = 1-k, ou seja
C = k-1.

Passo 5

Substituindo C na solução geral, obtemos
a_n = (k-1)(-1)^n + (k-1)^n,
para todo n\ge3.

Resposta

a_n = (k-1)^n + (k-1)(-1)^n,\quad n\ge3.

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