Seja
uma sequência com
para todos os inteiros positivos
. Expresse
em forma fechada.
Passo 1
O enunciado define a sequência
por
e pede uma forma fechada para
. Vamos resolver este tipo de recorrência usando a função geratriz exponencial, técnica clássica em contagem.
Passo 2
Para lidar bem com a geratriz exponencial, estendemos
para
. Tomamos
de modo que a fórmula valha também para
:
Passo 3
Definimos a função geratriz exponencial
Calculamos a derivada:
Separando as somas e reindexando, obtemos
Logo,
Passo 4
É uma equação diferencial de primeira ordem para
. Escrevendo
e integrando,
Como
, temos
, de onde
Passo 5
Para extrair
, expandimos
O produto gera
Mas, por definição de geratriz exponencial, o coeficiente de
em
é
. Assim,