Seja \left\{D_{n}\right\}_{n \geqslant 1} uma sequência com D_{1}=0, D_{2}=1 e
D_{n+1}=n\left(D_{n}+D_{n-1}\right)
para todos os inteiros positivos n. Expresse D_{n} em forma fechada.

Passo 1

O enunciado define a sequência \{D_n\} por
D_{1}=0,\quad D_{2}=1,
D_{n+1}=n\bigl(D_{n}+D_{n-1}\bigr)\quad(n\ge1),
e pede uma forma fechada para D_{n}. Vamos resolver este tipo de recorrência usando a função geratriz exponencial, técnica clássica em contagem.

Passo 2

Para lidar bem com a geratriz exponencial, estendemos D_n para n=0. Tomamos D_0 de modo que a fórmula valha também para n=1:
D_{2}=1=1\cdot\bigl(D_{1}+D_{0}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad D_{0}=1.

Passo 3

Definimos a função geratriz exponencial
F(x)=\sum_{n=0}^{\infty}D_{n}\,\frac{x^{n}}{n!}.
Calculamos a derivada:
F'(x) =\sum_{n=0}^{\infty}D_{n+1}\,\frac{x^{n}}{n!} =\sum_{n=0}^{\infty}n\bigl(D_{n}+D_{n-1}\bigr)\frac{x^{n}}{n!}.
Separando as somas e reindexando, obtemos
F'(x) =\sum_{n=1}^{\infty}nD_{n}\,\frac{x^{n}}{n!} +\sum_{n=1}^{\infty}nD_{n-1}\,\frac{x^{n}}{n!} =x\,F'(x)+x\,F(x).
Logo,
F'(x)\bigl(1 - x\bigr)=x\,F(x).

Passo 4

É uma equação diferencial de primeira ordem para F. Escrevendo
\frac{F'(x)}{F(x)}=\frac{x}{1-x}
e integrando,
\ln F(x)=-x-\ln(1-x)+C.
Como F(0)=D_{0}=1, temos C=0, de onde
F(x)=\frac{e^{-x}}{1-x}.

Passo 5

Para extrair D_{n}, expandimos
\frac{1}{1-x}=\sum_{j=0}^{\infty}x^{j}, \qquad e^{-x}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{k!}x^{k}.
O produto gera
F(x) =\sum_{n=0}^{\infty}\Biggl(\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^{k}}{k!}\Biggr)x^{n}.
Mas, por definição de geratriz exponencial, o coeficiente de x^{n} em F(x) é D_{n}/n!. Assim,
\frac{D_{n}}{n!}=\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^{k}}{k!} \quad\Longrightarrow\quad D_{n} =n!\,\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^{k}}{k!}.

Resposta

D_{n} =n!\,\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^{k}}{k!}.

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