Sejam A, B, C e D os vértices de um tetraedro regular de aresta 1 metro. Uma formiga, começando do vértice A, observa a seguinte regra: em cada vértice ela escolhe uma das três arestas que se encontram naquele vértice, cada aresta sendo igualmente provável de ser escolhida, e caminha ao longo dessa aresta até a extremidade oposta.
(a) Determine a probabilidade da formiga estar no vértice A após percorrer exatamente 7 metros.
(b) Determine a probabilidade da formiga estar no vértice A após percorrer exatamente n metros.

Passo 1

O enunciado descreve um passeio aleatório nos vértices \{A,B,C,D\} de um tetraedro regular de aresta 1 m. A cada passo a formiga vai de um vértice para um dos outros três, escolhendo cada aresta com probabilidade 1/3. Precisamos achar
  • (a) \displaystyle P(X_7 = A \mid X_0 = A),
  • (b) \displaystyle P(X_n = A \mid X_0 = A).
    Aqui X_k é o vértice onde a formiga está após k metros (passos).

Passo 2

Pela simetria, definimos \displaystyle p_n = P(X_n = A \mid X_0 = A)
e, para qualquer vértice distinto de A, \displaystyle q_n = P(X_n = B \mid X_0 = A).
Como há três vértices iguais a B no mesmo nível de simetria, temos
p_n + 3 q_n = 1.
Além disso, para o passo seguinte a formiga só chega a A vindo de B,C ou D, cada um com probabilidade q_n, e de cada um a chance de chegar em A é 1/3. Logo
p_{n+1} = \frac{1}{3}\,(q_n + q_n + q_n) = q_n = \frac{1 - p_n}{3}.

Passo 3

Escrevendo a relação recursiva de forma explícita:
p_{n+1} = \frac{1 - p_n}{3}.
Isso é uma recorrência linear não homogênea de 1º ordem.
A parte homogênea é
p_{n+1}^{(h)} = -\tfrac{1}{3}\,p_n^{(h)},
cuja solução geral é
p_n^{(h)} = C\Bigl(-\tfrac{1}{3}\Bigr)^n.
Procuramos também uma solução particular constante p_n^{(p)} = A. Substituindo na recorrência:
A = \frac{1 - A}{3} \;\Longrightarrow\; 3A = 1 - A \;\Longrightarrow\; 4A = 1 \;\Longrightarrow\; A = \tfrac14.

Passo 4

A solução geral é
p_n = p_n^{(h)} + p_n^{(p)} = C\Bigl(-\tfrac{1}{3}\Bigr)^n + \tfrac14.
Para determinar C, usamos a condição inicial p_0 = P(X_0=A\mid X_0=A)=1:
1 = C\Bigl(-\tfrac13\Bigr)^0 + \tfrac14 \;\Longrightarrow\; 1 = C + \tfrac14 \;\Longrightarrow\; C = \tfrac34.
Portanto
\boxed{p_n = \frac14 + \frac34 \Bigl(-\tfrac13\Bigr)^n.}

Passo 5

Para n=7, temos
p_7 = \frac14 + \frac34\Bigl(-\tfrac13\Bigr)^7 = \frac14 + \frac34\bigl(-\tfrac{1}{2187}\bigr) = \frac14 - \frac{3}{4\cdot2187} = \frac{2187 - 3}{4\cdot2187} = \frac{2184}{8748} = \frac{182}{729}.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{182}{729}.
(b) \displaystyle P(X_n=A\mid X_0=A)=\frac14 + \frac34\Bigl(-\tfrac13\Bigr)^n.

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