Sejam
e
os vértices de um tetraedro regular de aresta 1 metro. Uma formiga, começando do vértice
, observa a seguinte regra: em cada vértice ela escolhe uma das três arestas que se encontram naquele vértice, cada aresta sendo igualmente provável de ser escolhida, e caminha ao longo dessa aresta até a extremidade oposta.
(a) Determine a probabilidade da formiga estar no vértice
após percorrer exatamente 7 metros.
(b) Determine a probabilidade da formiga estar no vértice
após percorrer exatamente
metros.
(a) Determine a probabilidade da formiga estar no vértice
(b) Determine a probabilidade da formiga estar no vértice
Passo 1
O enunciado descreve um passeio aleatório nos vértices
de um tetraedro regular de aresta 1 m. A cada passo a formiga vai de um vértice para um dos outros três, escolhendo cada aresta com probabilidade
. Precisamos achar
- (a)
, - (b)
.
Aquié o vértice onde a formiga está após metros (passos).
Passo 2
Pela simetria, definimos
e, para qualquer vértice distinto de ,
.
Como há três vértices iguais a no mesmo nível de simetria, temos
e, para qualquer vértice distinto de
Como há três vértices iguais a
Além disso, para o passo seguinte a formiga só chega a
vindo de
ou
, cada um com probabilidade
, e de cada um a chance de chegar em
é
. Logo
Passo 3
Escrevendo a relação recursiva de forma explícita:
Isso é uma recorrência linear não homogênea de 1º ordem.
A parte homogênea é
A parte homogênea é
cuja solução geral é
Procuramos também uma solução particular constante
. Substituindo na recorrência:
Passo 4
A solução geral é
Para determinar
, usamos a condição inicial
:
Portanto
Passo 5
Para
, temos
Resposta
(a)
(b)
(b)