A sucessão S dos números 1,5,13,25, \ldots, a_{k}, \ldots possui a propriedade de que as diferenças d_{k}=a_{k+1}-a_{k}, \operatorname{com} k \in \mathbb{N} formam uma progressão aritmética. Determine:
(a) O 30^{\circ} termo da seqüência.
(b) O n-ésimo termo da sequencia.

Passo 1

O enunciado dá a sequência a_{1},a_{2},a_{3},\dots cujos primeiros termos são
1,5,13,25,\dots
e diz que as diferenças
d_{k}=a_{k+1}-a_{k}
formam uma progressão aritmética (PA). Precisamos, então, descobrir a expressão de d_{k}, somá-la para obter a_{n} e, em particular, calcular a_{30}.

Passo 2

Calculamos os três primeiros d_{k}:
d_{1}=5-1=4,\quad d_{2}=13-5=8,\quad d_{3}=25-13=12.
Percebe-se que (4,8,12,\dots) é uma PA de primeiro termo d_{1}=4 e razão r=4.

Passo 3

Escrevemos a fórmula geral de uma PA para d_{k}:
d_{k}=d_{1}+(k-1)\,r=4+(k-1)\cdot 4=4k.

Passo 4

Como a_{n}=a_{1}+\sum_{j=1}^{n-1}d_{j}, substituímos
a_{n}=1+\sum_{j=1}^{n-1}4j.

Passo 5

Usamos a soma dos primeiros n-1 naturais:
\sum_{j=1}^{n-1}j=\frac{(n-1)n}{2},
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a_{n}=1+4\cdot\frac{(n-1)n}{2} =1+2n(n-1) =2n^{2}-2n+1.

Passo 6

Para obter o 30^{\circ} termo, basta pôr n=30 em \displaystyle a_{n}=2n^{2}-2n+1:
a_{30}=2\cdot30^{2}-2\cdot30+1 =1800-60+1 =1741.

Resposta

(a) a_{30}=1741
(b) a_{n}=2n^{2}-2n+1

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