17 Resolva o sistema linear matricial pelo Método de Gauss: \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ll} x_{1} & y_{1} \\ x_{2} & y_{2} \\ x_{3} & y_{3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 4 & 2 \\ 2 & -2 \\ 9 & 7 \end{array}\right) Passo 1O enunciado pede para resolver pelo método de Gauss o sistema matricial \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right) \left(\begin{array}{cc} x_{1} & y_{1} \\\ x_{2} & y_{2} \\\ x_{3} & y_{3} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} 4 & 2 \\\\ 2 & -2 \\\\ 9 & 7 \end{array}\right) Isso equivale a dois sistemas com a mesma matriz de coeficientes, então montamos uma matriz aumentada com duas colunas de termos independentes e aplicamos eliminação de Gauss para obter forma triangular superior. Passo 2Montamos a matriz aumentada \left(\begin{array}{ccc|cc} 1 & 0 & 1 & 4 & 2\\\\ 1 & 1 & 0 & 2 & -2\\\\ 1 & 1 & 1 & 9 & 7 \end{array}\right) e aplicamos as operações R_{2}\leftarrow R_{2}-R_{1},\quad R_{3}\leftarrow R_{3}-R_{1} obtendo \left(\begin{array}{ccc|cc} 1 & 0 & 1 & 4 & 2\\\\ 0 & 1 & -1 & -2 & -4\\\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5 \end{array}\right). Passo 3Eliminamos o 1 em posição (3,2) usando R_{3}\leftarrow R_{3}-R_{2} e chegamos à matriz triangular superior \left(\begin{array}{ccc|cc} 1 & 0 & 1 & 4 & 2\\\\ 0 & 1 & -1 & -2 & -4\\\\ 0 & 0 & 1 & 7 & 9 \end{array}\right). Passo 4Fazemos a substituição regressiva: da terceira linha x_{3}=7,\quad y_{3}=9, da segunda linha ( x_{2}-x_{3}=-2, y_{2}-y_{3}=-4) x_{2}=-2+7=5,\quad y_{2}=-4+9=5. Passo 5Da primeira linha ( x_{1}+x_{3}=4, y_{1}+y_{3}=2) x_{1}=4-7=-3,\quad y_{1}=2-9=-7. Resposta \begin{pmatrix} x_{1} & y_{1} \\\ x_{2} & y_{2} \\\ x_{3} & y_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & -7 \\\\ 5 & 5 \\\\ 7 & 9 \end{pmatrix} MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionados13 Sejam as matrizes A=\left(\begin{array}{rrr} 4 & 2 & -4 \\\\ 2 & 10 & 4 \\\\ -4 & 4 & 9 \end{array}\right) \quad \text { e } \quad B=\left(\begin{array}{lll} 3 & 1 & 0 \\\\ 1 & 3 & 2 \\\\ 0 & 2 & 0 \end{array}\right) Escolha adequadamente e resolva um dos sistemas \mathrm{Ax}=\mathrm{b}, \mathrm{Bx}=\mathrm{b}, pelo processo de Cholesky, em que \mathrm{b}=\left(\begin{array}{lll}2 & 16 & 9\end{array}\right)^{T}. 12 Seja A=\left(\begin{array}{rrrr}16 & 4 & 8 & 4 \\\\ 4 & 10 & 8 & 4 \\\\ 8 & 8 & 12 & 10 \\\\ 4 & 4 & 10 & 12\end{array}\right) a) Verifique se A pode ser decomposta em G.G { }^{T}. b) Decomponha A em G.G { }^{T}. c) Calcule o determinante de A. d) Resolva o sistema A.x=b, em que b=\left(\begin{array}{l}32 \\\\ 26 \\\\ 38 \\\\ 30\end{array}\right). Utilizando Cholesky, encontre a inversa da seguinte matriz: A=\left(\begin{array}{ccc} 4 & 2 & -4 \\ 2 & 10 & 4 \\ -4 & 4 & 9 \end{array}\right)