17 Resolva o sistema linear matricial pelo Método de Gauss:
\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ll} x_{1} & y_{1} \\ x_{2} & y_{2} \\ x_{3} & y_{3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 4 & 2 \\ 2 & -2 \\ 9 & 7 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para resolver pelo método de Gauss o sistema matricial
\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right) \left(\begin{array}{cc} x_{1} & y_{1} \\\ x_{2} & y_{2} \\\ x_{3} & y_{3} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} 4 & 2 \\\\ 2 & -2 \\\\ 9 & 7 \end{array}\right)
Isso equivale a dois sistemas com a mesma matriz de coeficientes, então montamos uma matriz aumentada com duas colunas de termos independentes e aplicamos eliminação de Gauss para obter forma triangular superior.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada
\left(\begin{array}{ccc|cc} 1 & 0 & 1 & 4 & 2\\\\ 1 & 1 & 0 & 2 & -2\\\\ 1 & 1 & 1 & 9 & 7 \end{array}\right)
e aplicamos as operações
R_{2}\leftarrow R_{2}-R_{1},\quad R_{3}\leftarrow R_{3}-R_{1}
obtendo
\left(\begin{array}{ccc|cc} 1 & 0 & 1 & 4 & 2\\\\ 0 & 1 & -1 & -2 & -4\\\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5 \end{array}\right).

Passo 3

Eliminamos o 1 em posição (3,2) usando
R_{3}\leftarrow R_{3}-R_{2}
e chegamos à matriz triangular superior
\left(\begin{array}{ccc|cc} 1 & 0 & 1 & 4 & 2\\\\ 0 & 1 & -1 & -2 & -4\\\\ 0 & 0 & 1 & 7 & 9 \end{array}\right).

Passo 4

Fazemos a substituição regressiva: da terceira linha
x_{3}=7,\quad y_{3}=9,
da segunda linha ( x_{2}-x_{3}=-2, y_{2}-y_{3}=-4)
x_{2}=-2+7=5,\quad y_{2}=-4+9=5.

Passo 5

Da primeira linha ( x_{1}+x_{3}=4, y_{1}+y_{3}=2)
x_{1}=4-7=-3,\quad y_{1}=2-9=-7.

Resposta

\begin{pmatrix} x_{1} & y_{1} \\\ x_{2} & y_{2} \\\ x_{3} & y_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & -7 \\\\ 5 & 5 \\\\ 7 & 9 \end{pmatrix}

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