• 12 Seja \mathbb{Q} o conjunto dos números racionais e f: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q} uma função satisfazendo as duas condições seguintes:
    (i) f(1)=2
    (ii) f(x y)=f(x) f(y)-f(x+y)+1 para todos x, y \in \mathbb{Q}.
    (a) Mostre que f(2)=3.
    (b) Prove que f(k)=k+1, para todo k \in \mathbb{Z}.
    (c) Prove que f(x)=x+1, para todo x \in \mathbb{Q}.

Passo 1

O enunciado define uma função f\colon \mathbb{Q}\to\mathbb{Q} tal que
(i) f(1)=2
(ii) para todos x,y\in\mathbb{Q},
f(xy)=f(x)\,f(y)\;-\;f(x+y)\;+\;1.
Pede-se em (a) calcular f(2), em (b) mostrar que f(k)=k+1 para todo k\in\mathbb{Z} e em (c) estender isso a f(x)=x+1 para todo x\in\mathbb{Q}.

Passo 2

Para (a), basta usar x=y=1 na condição (ii). Temos xy=1 e x+y=2, então
f(1)=f(1)f(1)-f(2)+1.
Como f(1)=2, isso vira
2 = 2\cdot2 - f(2) +1 \quad\Longrightarrow\quad 2 = 5 - f(2) \quad\Longrightarrow\quad f(2)=3.

Passo 3

Para (b), primeiro achamos f(0). Tomando y=0 na condição (ii), vem
f(0)=f(x)f(0)-f(x+0)+1 \;\Longrightarrow\; f(x)\bigl(f(0)-1\bigr)=f(0)-1.
Como f(1)=2\neq1, deve ser f(0)-1=0, logo f(0)=1.
Agora, para inteiros positivos, usamos indução. Já temos f(1)=2. Supondo f(k)=k+1, tomamos y=1 na (ii) com x=k:
f(k)=f(k)f(1)-f(k+1)+1 \;\Longrightarrow\; f(k+1)=f(k)+1=(k+1)+1=k+2.
Para inteiros negativos, primeiro f(-1) vem de x=1,y=-1:
f(-1)=f(1)f(-1)-f(0)+1 \;\Longrightarrow\; f(-1)=0,
que coincide com -1+1. Em seguida, supondo f(-m)=1-m, use y=1 em x=-m para obter
f(-m+1)=f(-m)f(1)-f(-m)+1=f(-m)+1=(1-m)+1=2-m,
completando a indução descendente. Assim f(k)=k+1 para todo k\in\mathbb{Z}.

Passo 4

Para (c), seja x=p/q\in\mathbb{Q} com p,q\in\mathbb{Z}, q\neq0. Use y=q na condição (ii) com x=p/q:
f\bigl((p/q)\,q\bigr)=f(p) =f\bigl(p/q\bigr)\,f(q)\;-\;f\bigl(p/q+q\bigr)\;+\;1.
Sabendo que f(p)=p+1, f(q)=q+1 e f(p/q+q)=p/q+q+1, obtemos
p+1 =f\bigl(p/q\bigr)(q+1) -\bigl(p/q+q+1\bigr) +1 \;\Longrightarrow\; f(p/q)(q+1) =\frac{(p+q)(q+1)}{q} \;\Longrightarrow\; f(p/q) =\frac{p+q}{q} =p/q+1.

Resposta

(a) f(2)=3.
(b) f(k)=k+1 para todo k\in\mathbb{Z}.
(c) f(x)=x+1 para todo x\in\mathbb{Q}.

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