13 Sejam as matrizes
A=\left(\begin{array}{rrr} 4 & 2 & -4 \\\\ 2 & 10 & 4 \\\\ -4 & 4 & 9 \end{array}\right) \quad \text { e } \quad B=\left(\begin{array}{lll} 3 & 1 & 0 \\\\ 1 & 3 & 2 \\\\ 0 & 2 & 0 \end{array}\right)
Escolha adequadamente e resolva um dos sistemas \mathrm{Ax}=\mathrm{b}, \mathrm{Bx}=\mathrm{b}, pelo processo de Cholesky, em que \mathrm{b}=\left(\begin{array}{lll}2 & 16 & 9\end{array}\right)^{T}.

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes simétricas
A=\begin{pmatrix} 4 & 2 & -4\\\\ 2 & 10 & 4\\\\ -4 & 4 & 9 \end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix} 3 & 1 & 0\\\\ 1 & 3 & 2\\\\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}
e o vetor \,b=(2,16,9)^T. Pede para resolver um dos sistemas \,Ax=b ou \,Bx=b pelo processo de Cholesky. Para usar Cholesky precisamos de uma matriz simétrica e definida positiva.

Passo 2

Verificamos que A é definida positiva calculando os menores principais:
\det\bigl([4]\bigr)=4>0, \quad \det\begin{pmatrix}4&2\\\ 2&10\end{pmatrix}=4\cdot10-2\cdot2=36>0,
\det(A)=36>0.
\det(B)=-12<0, então B não é definida positiva. Logo escolhemos resolver
\,Ax=b por Cholesky.

Passo 3

Fatoramos
A=L\,L^T,
com
L=\begin{pmatrix} \ell_{11}&0&0\\\ \ell_{21}&\ell_{22}&0\\\ \ell_{31}&\ell_{32}&\ell_{33} \end{pmatrix}.
Calculamos coeficiente a coeficiente:
\ell_{11}=\sqrt{4}=2,\quad \ell_{21}=\frac{2}{2}=1,\quad \ell_{31}=\frac{-4}{2}=-2,
\ell_{22}=\sqrt{10-1^2}=3,\quad \ell_{32}=\frac{4-(-2)\cdot1}{3}=2, \quad \ell_{33}=\sqrt{9-(-2)^2-2^2}=1.
Assim
L=\begin{pmatrix} 2&0&0\\\\ 1&3&0\\\\ -2&2&1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Resolvemos L\,y=b por substituição progressiva:
y_1=\frac{2}{2}=1,\quad y_2=\frac{16-1\cdot y_1}{3}=\frac{16-1}{3}=5,
y_3=\frac{9-(-2)\cdot y_1-2\cdot y_2}{1} =9+2-2\cdot5=1.
Ficando
\,y=(1,5,1)^T.

Passo 5

Resolvemos L^T x=y por substituição regressiva:
L^T=\begin{pmatrix} 2&1&-2\\\\ 0&3&2\\\\ 0&0&1 \end{pmatrix},
então
x_3=\frac{y_3}{1}=1,\quad 3x_2+2x_3=5\implies x_2=1,
2x_1+1\cdot x_2-2\cdot x_3=1\implies 2x_1+1-2=1\implies x_1=1.
Logo
\,x=(1,1,1)^T.

Resposta

x=\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.

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