15^circ ) Desenvolver em série de Maclaurin, (os três primeiros termos), para as seguintes funções:
f(x)=sen x^2

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Maclaurin (os três primeiros termos) da função f(x)=sen x^2. Para isso, vamos usar a série conhecida de sen u e, em seguida, fazer a substituição u=x^2.

Passo 2

A série de Maclaurin de sen u é
sen u ;=;sumn=0^infty(-1)^n,u^2n+1(2n+1)!
Substituindo u=x^2, obtemos
sen(x^2) =sumn=0^infty(-1)^n,(x^2)^2n+1(2n+1)! =sumn=0^infty(-1)^n,x^4n+2(2n+1)!

Passo 3

Para pegar os três primeiros termos, basta avaliar a soma para n=0,1,2:
  • n=0:
(-1)^0,x^21!=x^2
  • n=1:
(-1)^1,x^63!=-x^66
  • n=2:
(-1)^2,x^105!=x^10120

Resposta

sen(x^2) = x^2 ;-;x^66;+;x^10120;+cdots

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