Considere a função f(x)=e^-x^2. Calcule integral0^1 f(x) d x aproximando f por uma função polinomial de grau 3.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
integral0^1e^-x^2,dx
usando um polinômio de grau 3 para f(x)=e^-x^2. Vamos empregar o polinômio de Taylor (Maclaurin) de grau até 3 em torno de x=0 e depois integrar esse polinômio de 0 a 1.

Passo 2

Começamos pela série de Maclaurin de e^-x^2:
e^-x^2 =sumn=0^infty(-1)^nx^2nn! =1 - x^2 + x^42!-x^63!+cdots
Para obter um polinômio de grau até 3, truncamos todos os termos de grau maior que 3. Como só aparecem potências pares, o polinômio de grau <=3 é
T3(x)=1 - x^2

Passo 3

Agora integramos T3(x) de 0 a 1:
integral0^1(1 - x^2),dx =gl[x - x^33gr]0^1 =1 - 13 =23

Passo 4

Portanto, a aproximação da integral original usando o polinômio de grau 3 é
integral0^1e^-x^2,dx approx 23

Resposta

integral0^1e^-x^2,dxapprox tfrac23

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