Para as integrais a seguir, calcule uma aproximação pelas regras do Trapézio e 1 / 3 de Simpson, usando quatro divisões de a, b. Obtenha um limitante superior para o erro cometido em cada caso. Qual o número mínimo de intervalos necessários para que a aproximação tenha precisão de 6 casas decimais?
integral0^2 x^3 d x;

Passo 1

O enunciado pede a aproximação de
integral0^2x^3,dx
pelas regras compostas do Trapézio e de Simpson 1/3, usando n=4 subintervalos, e ainda que a gente estime um limitante superior do erro em cada caso. Por fim, precisamos achar o número mínimo de intervalos para garantir precisão de 6 casas decimais. Vamos usar as fórmulas de regra composta e as estimativas de erro baseadas em derivadas de f(x)=x^3.

Passo 2

Aplicando a regra composta do Trapézio com n=4 em [0,2] temos h=(2-0)/4=0,5 e
T4 = h2l(f(x0)+2f(x1)+2f(x2)+2f(x3)+f(x4)r),
onde xk=0+kh. Logo,
T4 = 0,52l(0^3 +2cdot(0,5)^3 +2cdot1^3 +2cdot(1,5)^3 +2^3r) =0,25l(0 +2cdot0,125 +2cdot1 +2cdot3,375 +8r) =4,25

Passo 3

O erro da regra do Trapézio satisfaz
l|ETr|<= (b-a)12,h^2;max[0,2]l|f''(x)r|
Aqui f''(x)=6x, então max[0,2]|f''(x)|=12. Substituindo b-a=2 e h=0,5,
l|ETr|<= 212,(0,5)^2cdot12 =0,5

Passo 4

Agora a regra composta de Simpson 1/3 com n=4 (que já é par) é
S4 = h3l(f(x0)+4f(x1)+2f(x2)+4f(x3)+f(x4)r)
Substituindo h=0,5 e os valores de f(xk)=xk^3, dá
S4 =0,53l(0 +4cdot0,125 +2cdot1 +4cdot3,375 +8r) =0,53cdot24 =4
Repare que o valor exato da integral é integral0^2x^3,dx=4, então Simpson já acerta exatamente.

Passo 5

O erro de Simpson satisfaz
l|ESr|<= (b-a)180,h^4;max[0,2]l|f^(4)(x)r|
Como f^(4)(x)=0 para f(x)=x^3, o limitante é zero e a regra de Simpson é exata.

Passo 6

Para ter 6 casas decimais de precisão, queremos l|ETr|<=10^-6 no Trapézio. Usando o limitante
(b-a)12,h^2,max|f''| =212l(2Nr)^2cdot12 =8N^2<=10^-6,
logo N^2>=8cdot10^6 e N>=raiz8times10^3approx2828,4. Assim Nmin=2829.
Para Simpson, o erro é zero já para n=2 (ou qualquer n par), então basta n=2.

Resposta

Trapézio com n=4:
T4=4,25, l|ETr|<=0,5
Simpson com n=4:
S4=4, l|ESr|<=0
Para 6 casas decimais:
– Trapézio: Nmin=2829.
– Simpson: basta n=2.

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