17^circ ) Desenvolver em série de Taylor as seguintes funções:
f(x)=raizx em a =1

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de f(x)=raizx em torno de a=1. O conteúdo envolve expansão em série de potências, e podemos usar diretamente a fórmula do binômio de Newton generalizado para expoentes fracionários.

Passo 2

Definimos u = x-1. Assim
raizx = raiz1+u = (1+u)^1/2
A expansão do binômio (1+u)^alpha em série de potências em u é válida para lvert urvert<1, isto é, lvert x-1rvert<1.

Passo 3

A fórmula do binômio generalizado é
(1+u)^alpha = sumn=0^infty binomalphan,u^n, binomalphan = alpha(alpha-1)cdots(alpha-n+1)n!
Aqui tomamos alpha=tfrac12, então
binomtfrac12n = tfrac12l(tfrac12-1r)cdotsl(tfrac12-n+1r)n!

Passo 4

Calculando os primeiros coeficientes:
n =0: binomtfrac120=1
n =1: binomtfrac121 = tfrac121! = 12
n =2:
binomtfrac122 = tfrac12l(-tfrac12r)2! = -18
n =3:
binomtfrac123 = tfrac12l(-tfrac12r)l(-tfrac32r)3! = 116
Os sinais alternam e seguem o padrão do produto tfrac12(tfrac12-1)cdots.

Passo 5

Reunindo tudo, a expansão em torno de a=1 fica
raizx = sumn=0^infty binomtfrac12n,(x-1)^n = 1 + tfrac12,(x-1) - tfrac18,(x-1)^2 + tfrac116,(x-1)^3 - cdots,
válida para lvert x-1rvert<1.

Resposta

raizx = sumn=0^infty binomtfrac12n,(x-1)^n

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