15- Fazer a interpretação geométrica e escrever o algoritmo do método das Secantes.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) fazer a interpretação geométrica do método das Secantes; (2) escrever o algoritmo do método das Secantes.
Informações relevantes que eu vou usar (implícitas no pedido): tenho uma função f e quero aproximar uma raiz real \alpha tal que f(\alpha)=0. Vou precisar de duas aproximações iniciais distintas x_0 e x_1. O método constrói novas aproximações x_2,x_3,\dots até que uma condição de parada seja satisfeita.

Passo 2

Ideia básica e derivação da fórmula iterativa (a conta que você vai fazer na prova).
Queremos obter uma nova aproximação da raiz usando apenas valores de f (sem usar derivada explícita). Pegamos os dois pontos \big(x_{n-1},f(x_{n-1})\big) e \big(x_n,f(x_n)\big) no plano. A reta secante que passa por esses dois pontos tem declive (coeficiente angular)
m = \frac{f(x_n)-f(x_{n-1})}{x_n-x_{n-1}}.
A equação da reta secante, escrita em forma ponto-inclinação a partir de \big(x_n,f(x_n)\big), é
y - f(x_n) = m\big(x - x_n\big).
Para encontrar onde essa reta corta o eixo x (ou seja, y=0), substituímos y=0 e resolvemos para x. Isso dá
- f(x_n) = m\big(x_{n+1} - x_n\big).
Substituindo m e isolando x_{n+1} chega-se à fórmula fundamental do método das Secantes:
x_{n+1} = x_n - f(x_n)\,\frac{x_n - x_{n-1}}{\,f(x_n)-f(x_{n-1})\,}.
Expliquei cada símbolo: x_{n-1} e x_n são as duas últimas aproximações, f(x_{n-1}) e f(x_n) são os valores da função nesses pontos, e x_{n+1} é a nova aproximação obtida pelo corte da secante com o eixo x.

Passo 3

Interpretação geométrica, de maneira bem intuitiva (a parte que te ajuda a “ver” o método na prova).
  • Imagine o gráfico de y=f(x). Em x_{n-1} e x_n você marca dois pontos no gráfico. A secante é a reta que une esses dois pontos.
  • Onde essa secante intersecta o eixo x é a próxima aproximação x_{n+1}. Intuição: se a função fosse linear, essa interseção seria a raiz exata; para uma função não linear usamos essa aproximação local.
  • Comparação com o método de Newton: Newton usa a reta tangente em um ponto (precisa de f'); a secante usa a reta que passa por dois pontos (aproxima a derivada pela diferença quociente). Assim, a secante evita calcular f' explicitamente.
  • Observações práticas: se a secante for quase horizontal (denominador pequeno), a interseção pode ficar muito longe — isso explica possíveis divergências. O método tende a convergir se x_0 e x_1 estiverem razoavelmente próximos da raiz e se f for “bem comportada” (p. ex. derivada não nula na raiz).

Passo 4

Critérios de convergência e cuidados didáticos (o que você precisa checar na prova ao aplicar o método).
  • Critérios comuns de parada: |x_{n+1}-x_n|<\text{tol} ou |f(x_{n+1})|<\text{tol} ou atingir um número máximo de iterações N_{\max}. Aqui \text{tol} é a tolerância pedido na prova (por exemplo 10^{-6}).
  • Caso perigoso: se f(x_n)-f(x_{n-1})=0, a fórmula falha (divisão por zero). Na prática, ou escolhemos outras iniciais, ou usamos um método alternativo (por ex. bissecção) como plano B.
  • Complexidade por iteração: cada iteração requer exatamente uma nova avaliação de f (pois f(x_{n-1}) e f(x_n) já foram computados das iterações anteriores). Isso é vantajoso quando avaliar f custa pouco comparado a calcular f'.

Passo 5

Exemplo numérico curtinho para ver a conta na prática (isso ajuda muito na prova): f(x)=x^2-2 (raiz \sqrt{2}). Escolho x_0=1 e x_1=2.
Calcule f(x_0) e f(x_1):
f(1)=1-2=-1,\qquad f(2)=4-2=2.
Aplicando a fórmula para obter x_2:
x_2 = 2 - 2\cdot\frac{2-1}{2-(-1)} = 2 - 2\cdot\frac{1}{3} = 2-\frac{2}{3} = \frac{4}{3}\approx 1,3333.
Agora f(x_2)=\big(\tfrac{4}{3}\big)^2-2=\tfrac{16}{9}-2=\tfrac{-2}{9}\approx -0,2222. Aplicando novamente para x_3 (usando x_1=2 e x_2=\tfrac{4}{3}):
x_3 = \frac{4}{3} - \bigg(-\frac{2}{9}\bigg)\frac{\tfrac{4}{3}-2}{-\tfrac{2}{9}-2}.
Fazendo as contas passo a passo (mostrei no rascunho): chega-se a x_3=\tfrac{7}{5}=1,4. Você vê como a sequência se aproxima de \sqrt{2}\approx1,4142. Esse tipo de cálculo parcial é excelente para demonstrar que entendeu o método.

Passo 6

Algoritmo detalhado, passo a passo, pronto para ser escrito em prova ou implementado (use essa estrutura; todas as quantidades matemáticas em TeX):
  1. Escolha iniciais x_0 e x_1 com x_0\neq x_1. Escolha tolerância \text{tol}>0 e N_{\max}.
  2. Calcule f(x_0) e f(x_1).
  3. Para n=1,2,3,\dots faça:
    a) Se f(x_n) - f(x_{n-1}) = 0, pare (erro: divisão por zero) ou aplique estratégia alternativa (ex.: escolher novos pontos ou usar bissecção).
    b) Calcule x_{n+1} pela fórmula x_{n+1} = x_n - f(x_n)\,\frac{x_n - x_{n-1}}{\,f(x_n)-f(x_{n-1})\,}.c) Avalie f(x_{n+1}).
    d) Verifique critério de parada: se |x_{n+1}-x_n|<\text{tol} ou |f(x_{n+1})|<\text{tol}, então aceite x_{n+1} como aproximação e pare.
    e) Se n\ge N_{\max}, pare e reporte não-convergência ou o melhor aproximado.
    f) Atualize: x_{n-1}\leftarrow x_n, x_n\leftarrow x_{n+1}, e continue.
  4. Retorne x_{n+1} como aproximação da raiz.
Dicas finais que valem pontos na prova: sempre mencione a condição de divisão por zero e um critério de parada; explique brevemente por que a fórmula foi obtida (reta secante cortando o eixo x) e comente sobre rapidez de convergência (o método tem convergência superlinear, ordem aproximada 1{,}618, ou seja, mais rápido que métodos lineares simples, mas geralmente mais lento que Newton que é de ordem 2).

Resposta

Interpretação geométrica: a cada passo a reta secante que passa por \big(x_{n-1},f(x_{n-1})\big) e \big(x_n,f(x_n)\big) é traçada e sua interseção com o eixo x é tomada como a nova aproximação x_{n+1}; isso aproxima a derivada por um quociente incremental em vez de usar f'.
Algoritmo (iterativo): dados x_0,x_1, \text{tol}, N_{\max}, para n=1,2,\dots calcular
x_{n+1} = x_n - f(x_n)\,\frac{x_n - x_{n-1}}{\,f(x_n)-f(x_{n-1})\,},
avaliar f(x_{n+1}), e parar quando |x_{n+1}-x_n|<\text{tol} ou |f(x_{n+1})|<\text{tol} (tratar o caso f(x_n)=f(x_{n-1}) separadamente).

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