15- Fazer a interpretação geométrica e escrever o algoritmo do método das Secantes.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) fazer a interpretação geométrica do método das Secantes; (2) escrever o algoritmo do método das Secantes.
Informações relevantes que eu vou usar (implícitas no pedido): tenho uma função e quero aproximar uma raiz real
tal que
. Vou precisar de duas aproximações iniciais distintas
e
. O método constrói novas aproximações
até que uma condição de parada seja satisfeita.
Informações relevantes que eu vou usar (implícitas no pedido): tenho uma função
Passo 2
Ideia básica e derivação da fórmula iterativa (a conta que você vai fazer na prova).
Queremos obter uma nova aproximação da raiz usando apenas valores de (sem usar derivada explícita). Pegamos os dois pontos
e
no plano. A reta secante que passa por esses dois pontos tem declive (coeficiente angular)
Queremos obter uma nova aproximação da raiz usando apenas valores de
A equação da reta secante, escrita em forma ponto-inclinação a partir de
, é
Para encontrar onde essa reta corta o eixo
(ou seja,
), substituímos
e resolvemos para
. Isso dá
Substituindo
e isolando
chega-se à fórmula fundamental do método das Secantes:
Expliquei cada símbolo:
e
são as duas últimas aproximações,
e
são os valores da função nesses pontos, e
é a nova aproximação obtida pelo corte da secante com o eixo
.
Passo 3
Interpretação geométrica, de maneira bem intuitiva (a parte que te ajuda a “ver” o método na prova).
- Imagine o gráfico de
. Em e você marca dois pontos no gráfico. A secante é a reta que une esses dois pontos. - Onde essa secante intersecta o eixo
é a próxima aproximação . Intuição: se a função fosse linear, essa interseção seria a raiz exata; para uma função não linear usamos essa aproximação local. - Comparação com o método de Newton: Newton usa a reta tangente em um ponto (precisa de
); a secante usa a reta que passa por dois pontos (aproxima a derivada pela diferença quociente). Assim, a secante evita calcular explicitamente. - Observações práticas: se a secante for quase horizontal (denominador pequeno), a interseção pode ficar muito longe — isso explica possíveis divergências. O método tende a convergir se
e estiverem razoavelmente próximos da raiz e se for “bem comportada” (p. ex. derivada não nula na raiz).
Passo 4
Critérios de convergência e cuidados didáticos (o que você precisa checar na prova ao aplicar o método).
- Critérios comuns de parada:
ou ou atingir um número máximo de iterações . Aqui é a tolerância pedido na prova (por exemplo ). - Caso perigoso: se
, a fórmula falha (divisão por zero). Na prática, ou escolhemos outras iniciais, ou usamos um método alternativo (por ex. bissecção) como plano B. - Complexidade por iteração: cada iteração requer exatamente uma nova avaliação de
(pois e já foram computados das iterações anteriores). Isso é vantajoso quando avaliar custa pouco comparado a calcular .
Passo 5
Exemplo numérico curtinho para ver a conta na prática (isso ajuda muito na prova):
(raiz
). Escolho
e
.
Calcule e
:
Calcule
Aplicando a fórmula para obter
:
Agora
. Aplicando novamente para
(usando
e
):
Fazendo as contas passo a passo (mostrei no rascunho): chega-se a
. Você vê como a sequência se aproxima de
. Esse tipo de cálculo parcial é excelente para demonstrar que entendeu o método.
Passo 6
Algoritmo detalhado, passo a passo, pronto para ser escrito em prova ou implementado (use essa estrutura; todas as quantidades matemáticas em TeX):
- Escolha iniciais
e com . Escolha tolerância e . - Calcule
e . - Para
faça:
a) Se, pare (erro: divisão por zero) ou aplique estratégia alternativa (ex.: escolher novos pontos ou usar bissecção).
b) Calculepela fórmula c) Avalie .
d) Verifique critério de parada: seou , então aceite como aproximação e pare.
e) Se, pare e reporte não-convergência ou o melhor aproximado.
f) Atualize:, , e continue. - Retorne
como aproximação da raiz.
Dicas finais que valem pontos na prova: sempre mencione a condição de divisão por zero e um critério de parada; explique brevemente por que a fórmula foi obtida (reta secante cortando o eixo
) e comente sobre rapidez de convergência (o método tem convergência superlinear, ordem aproximada
, ou seja, mais rápido que métodos lineares simples, mas geralmente mais lento que Newton que é de ordem 2).
Resposta
Interpretação geométrica: a cada passo a reta secante que passa por
e
é traçada e sua interseção com o eixo
é tomada como a nova aproximação
; isso aproxima a derivada por um quociente incremental em vez de usar
.
Algoritmo (iterativo): dados ,
,
, para
calcular
Algoritmo (iterativo): dados
avaliar
, e parar quando
ou
(tratar o caso
separadamente).