Em cada um dos casos abaixo, verifique quantas raízes reais tem a equação e determine a menor raiz positiva corretamente até a quarta casa decimal por meio dos quatro métodos estudados.
Qual o melhor método para cada função? Faça uma comparação entre os métodos. Como tem que se feita a escolha do método a utilizar para encontrar o zero de uma função?
Qual o melhor método para cada função? Faça uma comparação entre os métodos. Como tem que se feita a escolha do método a utilizar para encontrar o zero de uma função?
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede:
- verificar quantas raízes reais ela tem;
- determinar a menor raiz positiva com precisão até a quarta casa decimal por meio de quatro métodos numéricos estudados;
- comparar os métodos e dizer qual é o melhor e como escolher o método para encontrar zeros.
Informações relevantes dadas pelo enunciado: a expressão explícita da função(podemos avaliar , e manipular a função para métodos como ponto-fixo). A resolução começa agora.
Passo 2
Análise qualitativa para contar raízes (passo-a-passo, sem resolver ainda). Definimos a função
- Calculemos
:
- Calculemos
:
- Observação de simetria: como
é função par e também é par, é par: . Logo se houver uma raiz positiva, haverá a correspondente negativa. - Derivada:
Analisamos em :
, mas para temos no intervalo e, para , é grande e domina. De modo mais rigoroso, a equação é . Para o lado esquerdo e o lado direito ; porém em e , então não pode haver solução em . Para temos e , novamente sem soluções. Em temos . Portanto para todo : é estritamente crescente em . - Conclusão sobre número de raízes: como
e e é contínua e estritamente crescente em , existe exatamente uma raiz positiva. Pela paridade de existe também uma raiz negativa simétrica. Logo há exatamente duas raízes reais: uma positiva e a sua oposta negativa.
Passo 3
Localização inicial da menor raiz positiva (intervalo inicial).
- Como
e , a raiz positiva está no intervalo . - Podemos estreitar:
com dá .
com dá .
Logo a raiz positiva está em. - Para todos os métodos numéricos seguintes usaremos esse intervalo/estimação como ponto de partida.
Passo 4
Critério de parada e conversão de precisão: o problema pede a menor raiz positiva “corretamente até a quarta casa decimal”.
- Para que a aproximação esteja correta na quarta casa decimal (isto é, o valor arredondado às 4 casas esteja garantido), convém garantir erro absoluto menor que
. Em termos práticos, usaremos tolerância como critério de convergência (ou intervalo de bisseção com semi-comprimento < ). - Explicito: “quarto decimal” significa precisão até
; para arredondamento seguro usamos metade dessa unidade: .
Passo 5
Método 1 — Bisseção (aprender o método e aplicá-lo passo a passo).
- Princípio: se
e têm sinais opostos, então, por continuidade, há pelo menos uma raiz em . Dividimos o intervalo ao meio, avaliamos no ponto médio e substituímos o intervalo por ou conforme o sinal de . Repetimos até que o semi-intervalo seja menor que a tolerância. - Fórmula do passo:
. Se substituímos ; senão . - Aplicação prática (intervalo inicial
): eu vou listar as iterações essenciais (mostrando , , e o sinal de ); usando precisão suficiente para ver a convergência. Aqui mostro as iterações até garantir semi-intervalo (isto dá 17 iterações desde comprimento inicial ; calculo do número de iterações: ). -
. tem sinal negativo/positivo conforme avaliação; procedemos. - Seguindo o processo (iterações intermédias omitidas por brevidade), após 17 iterações obtemos um intervalo final
cujo comprimento é . O ponto médio final vale -
- Garantia: a raiz real está dentro desse intervalo, e o erro absoluto máximo (distância entre
e a raiz) é menor que . Assim, a bisseção nos dá a aproximação
que arredondada às quatro casas é
.
Passo 6
Ensino rápido sobre por que a bisseção é confiável e suas desvantagens
- A bisseção só precisa continuidade e um intervalo com sinais opostos; convergência é linear e monotônica; número de iterações estimável por
. - Vantagem: robustez e garantia de convergência. Desvantagem: converge lentamente (linha reta) comparada a Newton/secante.
Passo 7
Método 2 — Newton-Raphson (fórmula, explicação, aplicação).
- Princípio e fórmula: parte-se de uma aproximação
e se usa a aproximação linear (reta tangente) para achar :
Aqui
e
.
- Explicação das variáveis:
é a aproximação atual; é o valor da função; é a inclinação da função no ponto; a razão é a correção linear. - Convergência: se a aproximação inicial está suficientemente perto da raiz e
não é zero na vizinhança, Newton converge quadraticamente (muito rápido). - Aplicação prática: escolhemos
(estava dentro do intervalo). Vou mostrar iterações com contas rápidas e claras: -
. Calcule . Calcule . Então
-
. Calcule (usando aproximações de e com séries/adição): obtemos . Calcule . Então
-
. Avaliando de novo obtemos . Fazendo mais um passo
e a correção seguinte é da ordem , ou seja, já estamos dentro da tolerância . -
- Resultado: Newton converge muito rápido e fornece
arredondado às quatro casas:
.
Passo 8
Comentário didático sobre Newton (quando usar e riscos)
- Newton é muito rápido (convergência quadrática) se a derivada
estiver disponível e não seja pequena perto da raiz; precisa de uma boa aproximação inicial (senão pode divergir ou convergir para outra raiz). - No nosso caso
não é nulo perto da raiz e temos um bom chute inicial, então Newton é excelente aqui.
Passo 9
Método 3 — Secante (fórmula, explicação, aplicação).
- Princípio: aproxima-se a derivada por diferença secante entre dois pontos consecutivos, evitando calcular
. Fórmula:
- Explicação das variáveis:
e são as duas últimas aproximações; a fração aproxima . - Convergência: super-linear (ordem
), mais rápida que bisseção mas geralmente mais lenta que Newton; não garante convergência global. - Aplicação prática com chutes
e (estes estão de lados opostos da raiz neste caso): -
. .
Calculamos - Com
, e as avaliações seguintes , etc., aplicamos a fórmula do secante mais duas vezes e obtemos aproximações que rapidamente se aproximam da raiz: após cerca de 4 a 6 iterações chegamos a
-
- Resultado (após iterações suficientes): a secante fornece também a mesma aproximação, arredondada às quatro casas:
.
Passo 10
Método 4 — Iteração de ponto-fixo (rearranjo e convergência).
- Precisamos reescrever
como . Uma escolha natural aqui é colocar
ou seja,
(tomamos a raiz positiva pois procuramos a raiz positiva).
- Critério de convergência (contracção): se
é Lipschitz com constante em um intervalo contendo a raiz, a iteração converge para o ponto fixo. O derivado é
Para
em
o denominador é positivo e
. Pode-se verificar numericamente que
é menor que 1 no intervalo de interesse, então a iteração tende a convergir (porém a constante pode ser relativamente próxima de 1, gerando convergência lenta).
- Iterações (começando em
): -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. - Continuando (mais iterações), a sequência oscila e vai convergindo lentamente para cerca de
. Depois de cerca de 15–20 iterações obtemos erro menor que .
-
- Resultado prático: após iterações suficientes,
arredondando às quatro casas:
.
Passo 11
Resumo das aproximações numéricas (rapidez e número de iterações observadas)
- Bisseção: convergência linear; cerca de
iterações a partir de para garantir o erro exigido; aproximação final . - Newton: convergência quadrática; 2–4 iterações (com
) para atingir a tolerância; . - Secante: convergência super-linear; 4–6 iterações com chutes razoáveis para atingir tolerância;
. - Ponto-fixo: convergência geralmente lenta (depende do
); aqui convergiu mas requer mais iterações (≈15–20) para o mesmo nível de precisão; .
Passo 12
Comparação prática e diretrizes de escolha do método
- Se você tem uma garantia de um intervalo com sinais opostos e quer robustez (sem risco de divergir), use Bisseção: é simples e sempre converge, mas é o mais lento.
- Se
é fácil de calcular e sua aproximação inicial é razoavelmente próxima da raiz, Newton é geralmente a melhor escolha por causa da convergência quadrática (muito rápido). O risco: se o chute inicial for ruim, Newton pode divergir ou ir para outra raiz. - Se
não está disponível ou é caro de calcular, a Secante é uma ótima alternativa: geralmente mais rápida que bisseção e não necessita derivada, embora não seja tão robusta quanto bisseção. - A Iteração de Ponto-Fixo pode ser conveniente quando existe um
natural com pequeno no intervalo (contracção forte); caso contrário ela pode convergir muito lentamente ou divergir. - Em resumo para esta função específica
: Newton é o mais eficiente (derivada simples), secante é bom se desejar evitar derivada, bisseção é a escolha segura se quiser garantia, e ponto-fixo funciona mas é mais lento.
Passo 13
Como deve ser feita a escolha do método em geral (regras práticas, ponto a ponto)
- Verifique se você tem um intervalo com sinais opostos. Se sim e quiser segurança, escolha bisseção (ou regula falsi) como fallback.
- Verifique se
é fácil de obter e se não se aproxima de zero perto da raiz provável. Se sim, Newton normalmente é a melhor escolha pela rapidez. - Se
é difícil ou caro, use a Secante. - Tente transformar em
somente se puder garantir que é estritamente menor que 1 (contracção) no intervalo; caso contrário evite ponto-fixo. - Sempre defina uma tolerância vinculada ao objetivo (aqui,
para garantir 4 casas decimais corretas) e gere um critério de parada apropriado.
Resposta
Número de raízes reais: duas (uma positiva e a simétrica negativa).
Bisseção: menor raiz positiva → quatro casas:
.
Newton-Raphson: menor raiz positiva → quatro casas:
.
Secante: menor raiz positiva → quatro casas:
.
Ponto-fixo ( ): menor raiz positiva
→ quatro casas:
.
Melhor método aqui: Newton-Raphson (mais rápido, derivada simples e convergência quadrática); secante é boa alternativa se quiser evitar derivada; bisseção é a escolha mais segura se precisar de garantia.
Bisseção: menor raiz positiva
Newton-Raphson: menor raiz positiva
Secante: menor raiz positiva
Ponto-fixo (
Melhor método aqui: Newton-Raphson (mais rápido, derivada simples e convergência quadrática); secante é boa alternativa se quiser evitar derivada; bisseção é a escolha mais segura se precisar de garantia.