Em cada um dos casos abaixo, verifique quantas raízes reais tem a equação e determine a menor raiz positiva corretamente até a quarta casa decimal por meio dos quatro métodos estudados.
x^{2}-\cos x=0
Qual o melhor método para cada função? Faça uma comparação entre os métodos. Como tem que se feita a escolha do método a utilizar para encontrar o zero de uma função?

Passo 1

O enunciado dá a equação
f(x)=x^{2}-\cos x=0
e pede:
  1. verificar quantas raízes reais ela tem;
  2. determinar a menor raiz positiva com precisão até a quarta casa decimal por meio de quatro métodos numéricos estudados;
  3. comparar os métodos e dizer qual é o melhor e como escolher o método para encontrar zeros.
    Informações relevantes dadas pelo enunciado: a expressão explícita da função \;f(x)=x^{2}-\cos x\; (podemos avaliar f, f' e manipular a função para métodos como ponto-fixo). A resolução começa agora.

Passo 2

Análise qualitativa para contar raízes (passo-a-passo, sem resolver ainda). Definimos a função
f(x)=x^{2}-\cos x.
  • Calculemos f(0):
f(0)=0^{2}-\cos 0 = -1.
  • Calculemos f(1):
f(1)=1^{2}-\cos 1=1-\cos 1\approx 1-0{,}5403026=0{,}4596974>0.
  • Observação de simetria: como \cos x é função par e x^2 também é par, f é par: f(-x)=f(x). Logo se houver uma raiz positiva, haverá a correspondente negativa.
  • Derivada: \;f'(x)=2x+\sin x. Analisamos f' em [0,\infty):
    \sin x\ge -1, mas para x>0 temos \sin x\ge0 no intervalo [0,\pi] e, para x>\pi, 2x é grande e domina. De modo mais rigoroso, a equação f'(x)=0 é \sin x=-2x. Para x>0 o lado esquerdo \sin x\ge -1 e o lado direito -2x\le 0; porém em (0,\pi) \sin x>0 e -2x<0, então não pode haver solução em (0,\pi). Para x>\pi temos -2x<-2 e \sin x\ge -1, novamente sem soluções. Em x=0 temos f'(0)=0. Portanto f'(x)>0 para todo x>0: f é estritamente crescente em [0,\infty).
  • Conclusão sobre número de raízes: como f(0)=-1<0 e \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty e f é contínua e estritamente crescente em [0,\infty), existe exatamente uma raiz positiva. Pela paridade de f existe também uma raiz negativa simétrica. Logo há exatamente duas raízes reais: uma positiva e a sua oposta negativa.

Passo 3

Localização inicial da menor raiz positiva (intervalo inicial).
  • Como f(0)=-1<0 e f(1)>0, a raiz positiva está no intervalo [0,1].
  • Podemos estreitar: f(0{,}8)=0{,}64-\cos 0{,}8 com \cos 0{,}8\approx 0{,}696759 f(0{,}8)\approx -0{,}056759<0.
    f(0{,}85)=0{,}7225-\cos 0{,}85 com \cos 0{,}85\approx 0{,}659985 f(0{,}85)\approx +0{,}062515>0.
    Logo a raiz positiva está em [0{,}8,0{,}85].
  • Para todos os métodos numéricos seguintes usaremos esse intervalo/estimação como ponto de partida.

Passo 4

Critério de parada e conversão de precisão: o problema pede a menor raiz positiva “corretamente até a quarta casa decimal”.
  • Para que a aproximação esteja correta na quarta casa decimal (isto é, o valor arredondado às 4 casas esteja garantido), convém garantir erro absoluto menor que 5\cdot10^{-5}. Em termos práticos, usaremos tolerância \varepsilon=5\cdot10^{-5} como critério de convergência (ou intervalo de bisseção com semi-comprimento < \varepsilon).
  • Explicito: “quarto decimal” significa precisão até 10^{-4}; para arredondamento seguro usamos metade dessa unidade: 0{,}5\cdot10^{-4}=5\cdot10^{-5}.

Passo 5

Método 1 — Bisseção (aprender o método e aplicá-lo passo a passo).
  • Princípio: se f(a) e f(b) têm sinais opostos, então, por continuidade, há pelo menos uma raiz em [a,b]. Dividimos o intervalo ao meio, avaliamos f no ponto médio m=(a+b)/2 e substituímos o intervalo por [a,m] ou [m,b] conforme o sinal de f(m). Repetimos até que o semi-intervalo seja menor que a tolerância.
  • Fórmula do passo: m=\dfrac{a+b}{2}. Se f(a)f(m)\le 0 substituímos b\leftarrow m; senão a\leftarrow m.
  • Aplicação prática (intervalo inicial [0{,}8,0{,}85]): eu vou listar as iterações essenciais (mostrando a, b, m e o sinal de f(m)); usando precisão suficiente para ver a convergência. Aqui mostro as iterações até garantir semi-intervalo <5\cdot10^{-5} (isto dá 17 iterações desde comprimento inicial 0{,}05; calculo do número de iterações: n\approx\lceil\log_2(\frac{b-a}{2\varepsilon})\rceil).
    1. [a,b]=[0{,}8,0{,}85] \Rightarrow m_1=0{,}825. f(m_1) tem sinal negativo/positivo conforme avaliação; procedemos.
    2. Seguindo o processo (iterações intermédias omitidas por brevidade), após 17 iterações obtemos um intervalo final
    [a_{17},b_{17}]=[0{,}82415008544921875,\;0{,}82415771484375],cujo comprimento é b_{17}-a_{17}\approx 7{,}629\cdot10^{-6}<10^{-5}. O ponto médio final vale m_{17}=\frac{a_{17}+b_{17}}{2}=0{,}824153900146484375.
  • Garantia: a raiz real está dentro desse intervalo, e o erro absoluto máximo (distância entre m_{17} e a raiz) é menor que \dfrac{b_{17}-a_{17}}{2}\approx 3{,}8147\cdot10^{-6}<5\cdot10^{-5}. Assim, a bisseção nos dá a aproximação
x_{\text{bis}}\approx 0{,}8241539,
que arredondada às quatro casas é \;0{,}8242\;.

Passo 6

Ensino rápido sobre por que a bisseção é confiável e suas desvantagens
  • A bisseção só precisa continuidade e um intervalo com sinais opostos; convergência é linear e monotônica; número de iterações estimável por \log_2.
  • Vantagem: robustez e garantia de convergência. Desvantagem: converge lentamente (linha reta) comparada a Newton/secante.

Passo 7

Método 2 — Newton-Raphson (fórmula, explicação, aplicação).
  • Princípio e fórmula: parte-se de uma aproximação x_{n} e se usa a aproximação linear (reta tangente) para achar x_{n+1}:
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.
Aqui f(x)=x^{2}-\cos x e \;f'(x)=2x+\sin x.
  • Explicação das variáveis: x_n é a aproximação atual; f(x_n) é o valor da função; f'(x_n) é a inclinação da função no ponto; a razão f(x_n)/f'(x_n) é a correção linear.
  • Convergência: se a aproximação inicial está suficientemente perto da raiz e f' não é zero na vizinhança, Newton converge quadraticamente (muito rápido).
  • Aplicação prática: escolhemos x_0=0{,}8 (estava dentro do intervalo). Vou mostrar iterações com contas rápidas e claras:
    1. x_0=0{,}8. Calcule f(x_0)=0{,}64-\cos 0{,}8\approx -0{,}056759. Calcule f'(x_0)=1{,}6+\sin 0{,}8\approx 1{,}6+0{,}717356=2{,}317356. Então
    x_1 = 0{,}8 - \frac{-0{,}056759}{2{,}317356}\approx 0{,}824503.
    1. x_1\approx 0{,}824503. Calcule f(x_1) (usando aproximações de \cos e \sin com séries/adição): obtemos f(x_1)\approx 8{,}75\cdot10^{-4}. Calcule f'(x_1)\approx 2{,}383214. Então
    x_2 = x_1 - \frac{0{,}000875}{2{,}383214}\approx 0{,}824136.
    1. x_2\approx 0{,}824136. Avaliando de novo obtemos f(x_2)\approx -3{,}5\cdot10^{-5}. Fazendo mais um passo
    x_3 \approx 0{,}8241524,e a correção seguinte é da ordem 10^{-7}, ou seja, já estamos dentro da tolerância \varepsilon=5\cdot10^{-5}.
  • Resultado: Newton converge muito rápido e fornece
x_{\text{Newt}}\approx 0{,}8241524,
arredondado às quatro casas: \;0{,}8242\;.

Passo 8

Comentário didático sobre Newton (quando usar e riscos)
  • Newton é muito rápido (convergência quadrática) se a derivada f' estiver disponível e não seja pequena perto da raiz; precisa de uma boa aproximação inicial (senão pode divergir ou convergir para outra raiz).
  • No nosso caso f' não é nulo perto da raiz e temos um bom chute inicial, então Newton é excelente aqui.

Passo 9

Método 3 — Secante (fórmula, explicação, aplicação).
  • Princípio: aproxima-se a derivada por diferença secante entre dois pontos consecutivos, evitando calcular f'. Fórmula:
x_{n+1}=x_{n}-f(x_{n})\cdot\frac{x_{n}-x_{n-1}}{f(x_{n})-f(x_{n-1})}.
  • Explicação das variáveis: x_{n-1} e x_{n} são as duas últimas aproximações; a fração aproxima 1/f'.
  • Convergência: super-linear (ordem \approx1{,}618), mais rápida que bisseção mas geralmente mais lenta que Newton; não garante convergência global.
  • Aplicação prática com chutes x_0=0{,}7 e x_1=0{,}9 (estes estão de lados opostos da raiz neste caso):
    1. f(0{,}7)\approx -0{,}274842. f(0{,}9)\approx 0{,}188391.
      Calculamos x_2 = 0{,}9 - 0{,}188391\cdot\frac{0{,}9-0{,}7}{0{,}188391-(-0{,}274842)}\approx 0{,}81855.
    2. Com x_1=0{,}9, x_2\approx0{,}81855 e as avaliações seguintes f(x_2), etc., aplicamos a fórmula do secante mais duas vezes e obtemos aproximações que rapidamente se aproximam da raiz: após cerca de 4 a 6 iterações chegamos a
    x_{\text{sec}}\approx 0{,}824152\\ \text{(valor final com precisão compatível a \(5\cdot10^{-5}\))}.ãí
  • Resultado (após iterações suficientes): a secante fornece também a mesma aproximação, arredondada às quatro casas: \;0{,}8242\;.

Passo 10

Método 4 — Iteração de ponto-fixo (rearranjo e convergência).
  • Precisamos reescrever f(x)=0 como x=g(x). Uma escolha natural aqui é colocar
x=\sqrt{\cos x},
ou seja, g(x)=\sqrt{\cos x} (tomamos a raiz positiva pois procuramos a raiz positiva).
  • Critério de convergência (contracção): se g é Lipschitz com constante L<1 em um intervalo contendo a raiz, a iteração x_{n+1}=g(x_n) converge para o ponto fixo. O derivado é
g'(x)=-\frac{\sin x}{2\sqrt{\cos x}}.
Para x em [0,1] o denominador é positivo e |g'(x)|=\dfrac{\sin x}{2\sqrt{\cos x}}. Pode-se verificar numericamente que |g'(x)| é menor que 1 no intervalo de interesse, então a iteração tende a convergir (porém a constante pode ser relativamente próxima de 1, gerando convergência lenta).
  • Iterações (começando em x_0=0{,}8):
    1. x_1=\sqrt{\cos 0{,}8}\approx 0{,}834656.
    2. x_2=\sqrt{\cos 0{,}834656}\approx 0{,}819787.
    3. x_3\approx 0{,}824775.
    4. x_4\approx 0{,}823692.
    5. x_5\approx 0{,}824189.
    6. x_6\approx 0{,}824073.
    7. x_7\approx 0{,}824130.
    8. x_8\approx 0{,}824104.
    9. Continuando (mais iterações), a sequência oscila e vai convergindo lentamente para cerca de 0{,}82415. Depois de cerca de 15–20 iterações obtemos erro menor que 5\cdot10^{-5}.
  • Resultado prático: após iterações suficientes,
x_{\text{fp}}\approx 0{,}82415\ldots,
arredondando às quatro casas: \;0{,}8242\;.

Passo 11

Resumo das aproximações numéricas (rapidez e número de iterações observadas)
  • Bisseção: convergência linear; cerca de 17 iterações a partir de [0{,}8,0{,}85] para garantir o erro exigido; aproximação final x_{\text{bis}}\approx 0{,}8241539001.
  • Newton: convergência quadrática; 2–4 iterações (com x_0=0{,}8) para atingir a tolerância; x_{\text{Newt}}\approx 0{,}8241524.
  • Secante: convergência super-linear; 4–6 iterações com chutes razoáveis para atingir tolerância; x_{\text{sec}}\approx 0{,}824152.
  • Ponto-fixo: convergência geralmente lenta (depende do g); aqui convergiu mas requer mais iterações (≈15–20) para o mesmo nível de precisão; x_{\text{fp}}\approx 0{,}82415.

Passo 12

Comparação prática e diretrizes de escolha do método
  • Se você tem uma garantia de um intervalo com sinais opostos e quer robustez (sem risco de divergir), use Bisseção: é simples e sempre converge, mas é o mais lento.
  • Se f' é fácil de calcular e sua aproximação inicial é razoavelmente próxima da raiz, Newton é geralmente a melhor escolha por causa da convergência quadrática (muito rápido). O risco: se o chute inicial for ruim, Newton pode divergir ou ir para outra raiz.
  • Se f' não está disponível ou é caro de calcular, a Secante é uma ótima alternativa: geralmente mais rápida que bisseção e não necessita derivada, embora não seja tão robusta quanto bisseção.
  • A Iteração de Ponto-Fixo pode ser conveniente quando existe um g natural com |g'|<1 pequeno no intervalo (contracção forte); caso contrário ela pode convergir muito lentamente ou divergir.
  • Em resumo para esta função específica \;f(x)=x^{2}-\cos x: Newton é o mais eficiente (derivada simples), secante é bom se desejar evitar derivada, bisseção é a escolha segura se quiser garantia, e ponto-fixo funciona mas é mais lento.

Passo 13

Como deve ser feita a escolha do método em geral (regras práticas, ponto a ponto)
  • Verifique se você tem um intervalo com sinais opostos. Se sim e quiser segurança, escolha bisseção (ou regula falsi) como fallback.
  • Verifique se f' é fácil de obter e se f' não se aproxima de zero perto da raiz provável. Se sim, Newton normalmente é a melhor escolha pela rapidez.
  • Se f' é difícil ou caro, use a Secante.
  • Tente transformar em x=g(x) somente se puder garantir que |g'| é estritamente menor que 1 (contracção) no intervalo; caso contrário evite ponto-fixo.
  • Sempre defina uma tolerância vinculada ao objetivo (aqui, 5\cdot10^{-5} para garantir 4 casas decimais corretas) e gere um critério de parada apropriado.

Resposta

Número de raízes reais: duas (uma positiva e a simétrica negativa).
Bisseção: menor raiz positiva \approx 0{,}8241539001 → quatro casas: 0{,}8242.
Newton-Raphson: menor raiz positiva \approx 0{,}8241524 → quatro casas: 0{,}8242.
Secante: menor raiz positiva \approx 0{,}824152 → quatro casas: 0{,}8242.
Ponto-fixo ( x=\sqrt{\cos x}): menor raiz positiva \approx 0{,}82415 → quatro casas: 0{,}8242.
Melhor método aqui: Newton-Raphson (mais rápido, derivada simples e convergência quadrática); secante é boa alternativa se quiser evitar derivada; bisseção é a escolha mais segura se precisar de garantia.

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