13- Para obter a raiz quadrada de um número positivo A , temos que resolver a equação
. Usando o método de Newton Raphson, encontre a raiz de 7 considerando
.
Passo 1
O enunciado pede que encontremos a raiz positiva de 7 resolvendo a equação
com
, usando o método de Newton–Raphson e começando em
.
Dados fornecidos e o que se pede:
Dados fornecidos e o que se pede:
-
. - Função a resolver:
. - Valor inicial:
. - Objetivo: aplicar o método de Newton–Raphson para obter uma aproximação da raiz (ou seja,
).
Passo 2
Entendendo o método (passo-a-passo didático e sem pular etapas).
O método de Newton–Raphson para uma função gera a sequência
O método de Newton–Raphson para uma função
onde
é a derivada de
. Aqui:
-
. Isso significa que estamos procurando tal que , ou seja, (a raiz positiva). - Vamos calcular a derivada:
. Isso é porque a derivada de é e a derivada de uma constante é .
Substituindo na fórmula de Newton:
Façamos uma operação algébrica para simplificar a expressão (isso é útil na prova):
Então, a iteração prática e simples é
Interpretação: cada iteração toma a média aritmética entre
e
. Isso é intuitivo: se
estiver acima de
,
estará abaixo, e a média puxa para o meio; se estiver abaixo, o mesmo acontece — converge rápido.
Passo 3
Calculemos
a partir de
. Usando a fórmula:
Compute passo a passo:
Somando:
Dividindo por 2:
Passo 4
Agora
:
É conveniente escrever
como fração para cálculo exato:
. Então
Portanto
Em decimal (aproximação):
Passo 5
Calculemos
exatamente (vai ficar em fração grande) e também em decimal:
Colocando em denominador comum
(que é
):
Somando e dividindo por 2:
Em decimal:
Observe que já estamos bem próximos de
: a diferença entre
e
é pequena (ordem
para
→
, e as correções seguintes tendem a diminuir muito mais rápido por convergência quadrática).
Passo 6
Calculemos
para ver a convergência rápida (aqui mostrarei a fração exata e a decimal, isso dá segurança numa prova sem calculadora):
Fazendo as multiplicações inteiras (mostro os valores utilizados):
Somando:
Denominador antes da divisão por 2:
Dividindo por 2 obtemos a fração final para
:
Agora a decimal (divisão longa ou calculadora):
Comparação e critério de parada: a diferença entre
e
é da ordem de
e
já coincide com
nos 11 primeiros dígitos mostrados. O método converge quadraticamente — isso significa que o número de casas corretas dobra a cada iteração quando já estamos perto da raiz — por isso já em
temos uma aproximação muito precisa.
Passo 7
Interpretação final e dica prática para prova:
- Em provas sem calculadora, é bom calcular até
ou em forma de fração (mostra conhecimento e exatidão) e, se pedirem aproximação numérica, fazer mais uma iteração que já dará muitos dígitos corretos. - Aqui, a raiz positiva de 7 (ou seja,
) aproximada pelo método de Newton com ficou em . Isso é mais do que suficiente para praticamente qualquer exigência de prova (3–6 casas decimais).