13- Para obter a raiz quadrada de um número positivo A , temos que resolver a equação f(x)=x^{2}-A=0. Usando o método de Newton Raphson, encontre a raiz de 7 considerando x_{0}=2.

Passo 1

O enunciado pede que encontremos a raiz positiva de 7 resolvendo a equação f(x)=x^{2}-A=0 com A=7, usando o método de Newton–Raphson e começando em x_{0}=2.
Dados fornecidos e o que se pede:
  • A=7.
  • Função a resolver: f(x)=x^{2}-7.
  • Valor inicial: x_{0}=2.
  • Objetivo: aplicar o método de Newton–Raphson para obter uma aproximação da raiz (ou seja, \sqrt{7}).

Passo 2

Entendendo o método (passo-a-passo didático e sem pular etapas).
O método de Newton–Raphson para uma função f(x) gera a sequência
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})},
onde f'(x) é a derivada de f. Aqui:
  • f(x)=x^{2}-7. Isso significa que estamos procurando x tal que x^{2}-7=0, ou seja, x=\sqrt{7} (a raiz positiva).
  • Vamos calcular a derivada: f'(x)=2x. Isso é porque a derivada de x^{2} é 2x e a derivada de uma constante -7 é 0.
    Substituindo na fórmula de Newton:
x_{n+1}=x_{n}-\frac{x_{n}^{2}-7}{2x_{n}}.
Façamos uma operação algébrica para simplificar a expressão (isso é útil na prova):
x_{n+1}=x_{n}-\frac{x_{n}^{2}-7}{2x_{n}} = \frac{2x_{n}^{2}-(x_{n}^{2}-7)}{2x_{n}} = \frac{x_{n}^{2}+7}{2x_{n}} = \frac{x_{n}+\dfrac{7}{x_{n}}}{2}.
Então, a iteração prática e simples é
x_{n+1}=\frac{x_{n}+\dfrac{7}{x_{n}}}{2}.
Interpretação: cada iteração toma a média aritmética entre x_{n} e 7/x_{n}. Isso é intuitivo: se x_{n} estiver acima de \sqrt{7}, 7/x_{n} estará abaixo, e a média puxa para o meio; se estiver abaixo, o mesmo acontece — converge rápido.

Passo 3

Calculemos x_{1} a partir de x_{0}=2. Usando a fórmula:
x_{1}=\frac{x_{0}+\dfrac{7}{x_{0}}}{2}=\frac{2+\dfrac{7}{2}}{2}.
Compute passo a passo:
\frac{7}{2}=\frac{7}{2}=3,\!5.
Somando:
2+3,\!5=5,\!5.
Dividindo por 2:
x_{1}=\frac{5,\!5}{2}=2,\!75.

Passo 4

Agora x_{2}:
x_{2}=\frac{x_{1}+\dfrac{7}{x_{1}}}{2}=\frac{2,\!75+\dfrac{7}{2,\!75}}{2}.
É conveniente escrever x_{1} como fração para cálculo exato: x_{1}=\dfrac{11}{4}. Então
\frac{7}{x_{1}}=\frac{7}{11/4}=\frac{28}{11}.
Portanto
x_{2}=\frac{\dfrac{11}{4}+\dfrac{28}{11}}{2}=\frac{\dfrac{233}{44}}{2}=\frac{233}{88}.
Em decimal (aproximação):
x_{2}=\frac{233}{88}\approx 2,6477272727\ldots

Passo 5

Calculemos x_{3} exatamente (vai ficar em fração grande) e também em decimal:
x_{3}=\frac{x_{2}+\dfrac{7}{x_{2}}}{2}=\frac{\dfrac{233}{88}+\dfrac{7}{233/88}}{2} =\frac{\dfrac{233}{88}+\dfrac{616}{233}}{2}.
Colocando em denominador comum 20504 (que é 233\cdot88):
\frac{233}{88}=\frac{54289}{20504},\qquad \frac{616}{233}=\frac{54208}{20504}.
Somando e dividindo por 2:
x_{3}=\frac{54289+54208}{2\cdot20504}=\frac{108497}{41008}.
Em decimal:
x_{3}=\frac{108497}{41008}\approx 2,6457706759.
Observe que já estamos bem próximos de \sqrt{7}: a diferença entre x_{3} e x_{2} é pequena (ordem 10^{-3} para x_{2} x_{3}, e as correções seguintes tendem a diminuir muito mais rápido por convergência quadrática).

Passo 6

Calculemos x_{4} para ver a convergência rápida (aqui mostrarei a fração exata e a decimal, isso dá segurança numa prova sem calculadora):
x_{4}=\frac{x_{3}+\dfrac{7}{x_{3}}}{2}=\frac{\dfrac{108497}{41008}+\dfrac{7\cdot41008}{108497}}{2} =\frac{\dfrac{108497^{2}+287056\cdot41008}{41008\cdot108497}}{2}.
Fazendo as multiplicações inteiras (mostro os valores utilizados):
108497^{2}=11\,771\,599\,009,\qquad 287056\cdot41008=11\,771\,592\,448.
Somando:
108497^{2}+287056\cdot41008=23\,543\,191\,457.
Denominador antes da divisão por 2:
41008\cdot108497=4\,449\,244\,976.
Dividindo por 2 obtemos a fração final para x_{4}:
x_{4}=\frac{23\,543\,191\,457}{8\,898\,489\,952}.
Agora a decimal (divisão longa ou calculadora):
x_{4}\approx 2,64575131106459.
Comparação e critério de parada: a diferença entre x_{4} e x_{3} é da ordem de 10^{-5} e x_{4} já coincide com \sqrt{7} nos 11 primeiros dígitos mostrados. O método converge quadraticamente — isso significa que o número de casas corretas dobra a cada iteração quando já estamos perto da raiz — por isso já em x_{4} temos uma aproximação muito precisa.

Passo 7

Interpretação final e dica prática para prova:
  • Em provas sem calculadora, é bom calcular até x_{2} ou x_{3} em forma de fração (mostra conhecimento e exatidão) e, se pedirem aproximação numérica, fazer mais uma iteração que já dará muitos dígitos corretos.
  • Aqui, a raiz positiva de 7 (ou seja, \sqrt{7}) aproximada pelo método de Newton com x_{0}=2 ficou em x_{4}\approx 2,64575131106459. Isso é mais do que suficiente para praticamente qualquer exigência de prova (3–6 casas decimais).

Resposta

\,2,64575131106459

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