Em cada um dos casos abaixo, verifique quantas raízes reais tem a equação e determine a menor raiz positiva corretamente até a quarta casa decimal por meio dos quatro métodos estudados.
x^{5}-x-1=0
Qual o melhor método para cada função? Faça uma comparação entre os métodos. Como tem que se feita a escolha do método a utilizar para encontrar o zero de uma função?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas principais:
  1. Verificar quantas raízes reais tem a equação \,x^{5}-x-1=0.
  2. Determinar a menor raiz positiva até a quarta casa decimal usando quatro métodos numéricos (vou usar: Bisseção, Newton–Raphson, Secante e Iteração de Ponto Fixo).
    Informações dadas e úteis que já podemos extrair do enunciado:
f(x)=x^{5}-x-1.
Observei também (isso vou usar na resolução):
f(1)=1-1-1=-1,\qquad f(2)=32-2-1=29,
logo existe pelo menos uma raiz no intervalo (1,2) por Bolzano (intermediate value theorem).
A resolução numérica de cada método deve produzir a raiz até a quarta casa decimal (isto é, com erro menor que 5\cdot10^{-5} para garantir arredondamento correto).

Passo 2

Vamos primeiro decidir quantas raízes reais existem (sem resolver numericamente ainda), usando análise de derivadas e sinais:
Defina f(x)=x^{5}-x-1. Calcule a derivada:
f'(x)=5x^{4}-1.
A equação f'(x)=0
5x^{4}=1\quad\Longrightarrow\quad x=\pm 5^{-1/4}.
Calculei numericamente 5^{-1/4}\approx 0,6687403. Agora avalio f nesses pontos críticos:
  • Para x=5^{-1/4}\approx 0,6687403:
x^{5}=x\cdot x^{4}=x\cdot\frac{1}{5}=0,6687403\cdot0,2=0,13374806,
então
f(0,6687403)=0,13374806-0,6687403-1\approx-1,53499224<0.
  • Para x=-5^{-1/4}\approx -0,6687403:
x^{5}=-0,13374806,
logo
f(-0,6687403)=-0,13374806+0,6687403-1\approx-0,46500776<0.
Como os dois extremos críticos dão valores negativos, a função tem um máximo local (em x<0) e um mínimo local (em x>0), ambos com valor negativo. Como f(x)\to -\infty quando x\to -\infty e f(x)\to+\infty quando x\to+\infty, isso implica que a função cruza o eixo x exatamente uma vez. Conclusão:
  • A equação \,x^{5}-x-1=0 tem exatamente uma raiz real. Essa raiz é positiva e encontra-se no intervalo (1,2) (pois f(1)<0 e f(2)>0).

Passo 3

Antes de aplicar os métodos, explico brevemente cada método, a fórmula iterativa e o critério de parada que usarei (para obter 4 casas decimais corretas):
Critério de parada prático: vou parar quando a mudança entre iterações for menor que \,5\cdot10^{-5} (isso garante arredondamento correto na 4ª casa decimal) ou quando |f(x_n)| ficar muito pequeno.
Métodos que vou usar:
  • Bisseção: método de busca por intervalos. Dados a<b com f(a)f(b)<0, define c=(a+b)/2. Substitui o intervalo por [a,c] ou [c,b] dependendo do sinal. Converge linearmente; erro máximo após n iterações é (b-a)/2^{n}.
  • Newton–Raphson: fórmula de iteração x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.Convergência quadrática quando a aproximação inicial é razoavelmente próxima e f'(x)\neq0.
  • Secante: método que aproxima a derivada por diferença; usando x_{n-1},x_n, x_{n+1}=x_n - f(x_n)\frac{x_n-x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})}.Não precisa de derivada analítica; convergência superlinear (ordem ~1,618).
  • Iteração de ponto fixo (transformação bem escolhida): reescrevemos f(x)=0 como x=g(x). Uma boa escolha aqui é g(x)=(x+1)^{1/5},pois x^{5}-x-1=0 \iff x=(x+1)^{1/5}. Se g for contração numa vizinhança da raiz, a sequência x_{n+1}=g(x_n) converge linearmente.

Passo 4

Iniciamos com a=1, b=2, pois f(1)=-1 e f(2)=29.
Vou mostrar as primeiras iterações, registrar os pontos médios e o sinal de f. (Como explicado no Passo 3, precisamos de n tal que (b-a)/2^{n}<5\cdot10^{-5}. Com b-a=1 obtemos 2^{n}>20000, ou n\ge 15 iterações.)
Iterações (média e sinal de f naquele ponto):
  1. c_1=1{,}5, f(c_1)>0 → novo intervalo [1,1{,}5].
  2. c_2=1{,}25, f(c_2)>0 [1,1{,}25].
  3. c_3=1{,}125, f(c_3)<0 [1{,}125,1{,}25].
  4. c_4=1{,}1875, f(c_4)>0 [1{,}125,1{,}1875].
  5. c_5=1{,}15625, f(c_5)<0 [1{,}15625,1{,}1875].
  6. c_6=1{,}171875, f(c_6)>0 [1{,}15625,1{,}171875].
  7. c_7=1{,}1640625, f(c_7)<0 [1{,}1640625,1{,}171875].
  8. c_8=1{,}16796875, f(c_8)>0 [1{,}1640625,1{,}16796875].
  9. c_9=1{,}166015625, f(c_9)<0 [1{,}166015625,1{,}16796875].
  10. c_{10}=1{,}1669921875, f(c_{10})<0 [1{,}1669921875,1{,}16796875].
  11. c_{11}=1{,}16748046875, f(c_{11})>0 [1{,}1669921875,1{,}16748046875].
  12. c_{12}=1{,}167236328125, f(c_{12})<0 [1{,}167236328125,1{,}16748046875].
  13. c_{13}=1{,}1673583984375, f(c_{13})>0 [1{,}167236328125,1{,}1673583984375].
  14. c_{14}=1{,}16729736328125, f(c_{14})<0 [1{,}16729736328125,1{,}1673583984375].
  15. c_{15}=1{,}167327880859375, f(c_{15})>0 [1{,}16729736328125,1{,}167327880859375].
Após 15 iterações o intervalo tem largura 3{,}0517578125\cdot10^{-5}<5\cdot10^{-5}. Qualquer valor dentro do intervalo final arredondará para a mesma quarta casa decimal. Tomando, por exemplo, o ponto médio do intervalo final ou um dos c_n, obtemos a aproximação (arredondando corretamente à quarta casa decimal):
\text{Bisseção: }x\approx 1{,}1673.çã

Passo 5

Lembrete da fórmula:
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)},\qquad f'(x)=5x^{4}-1.
Escolhi x_0=1{,}2 (próximo e simples). Iterações (mostro valores arredondados com bastante casas para ver a convergência):
  1. x_0=1{,}200000.
    f(x_0)=1{,}2^{5}-1{,}2-1=2{,}48832-2{,}2=0{,}28832.
    f'(x_0)=5\cdot1{,}2^{4}-1=5\cdot2{,}0736-1=9{,}368.
    x_1=1{,}2-\frac{0{,}28832}{9{,}368}\approx 1{,}169212394.
  2. x_1\approx 1{,}169212394. Calculei f(x_1)\approx 0{,}016880 e f'(x_1)\approx 8{,}345.
    x_2=1{,}169212394-\frac{0{,}016880}{8{,}345}\approx 1{,}167313492.
  3. x_2\approx 1{,}167313492. Calculei f(x_2)\approx 9{,}514\times10^{-6} (já muito pequeno) e f'(x_2)\approx 8{,}319.
    x_3=1{,}167313492-\frac{9{,}514\times10^{-6}}{8{,}319}\approx 1{,}167303978.
A diferença entre x_3 e x_2 já é menor que 5\cdot10^{-5}, e x_3 coincide com a raiz conhecida com precisão alta. Arredondando à quarta casa decimal:
\text{Newton: }x\approx 1{,}1673.
Observação prática: Newton foi muito rápido (convergência quadrática), chegando à precisão desejada em 3 iterações a partir de x_0=1{,}2.

Passo 6

Fórmula do secante:
x_{n+1}=x_n - f(x_n)\frac{x_n-x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})}.
Escolhi pontos iniciais próximos: x_0=1{,}0 e x_1=1{,}2 (assim aproveitamos um ponto com f(1)<0 e outro com f(1{,}2)>0).
Cálculos (valores arredondados nas contas mostradas):
  • f(1{,}0)=-1, f(1{,}2)=0{,}28832.
  1. Aplicando a fórmula:
x_2=1{,}2-\;0{,}28832\cdot\frac{1{,}2-1}{0{,}28832-(-1)}\approx 1{,}155215.
Calculei f(x_2)\approx -0{,}098315.
  1. Com x_1=1{,}2 e x_2=1{,}155215 aplico secante:
x_3\approx 1{,}166601\quad\text{(após cálculo usando os \(f\) correspondentes)}.óá
Calculei f(x_3)\approx -0{,}00961.
  1. Próxima iteração com x_2=1{,}155215 e x_3=1{,}166601:
x_4\approx 1{,}167837.
Calculei f(x_4)\approx 0{,}001(aprox).
  1. Mais uma iteração entre x_3 e x_4 dá:
x_5\approx 1{,}167304\\ (\text{diferença }<5\cdot10^{-5}).ç
Assim, o método da secante também chega à precisão desejada em poucas iterações. Arredondando:
\text{Secante: }x\approx 1{,}1673.

Passo 7

Transformei f(x)=0 em x=g(x) com
g(x)=(x+1)^{1/5}.
Verificação rápida: perto da raiz a derivada g'(x)=\tfrac{1}{5}(x+1)^{-4/5} tem valor bem menor que 1 (ex.: em x\approx1{,}1673, g'(x)\approx 0{,}107), indicando que g é uma contração local e a iteração x_{n+1}=g(x_n) converge linearmente.
Iterando a partir de x_0=1{,}0:
  1. x_1=g(1)=2^{1/5}\approx 1{,}148698.
  2. x_2=g(1{,}148698)=(2{,}148698)^{1/5}\approx 1{,}165253.
  3. x_3=g(1{,}165253)\approx 1{,}167213.
  4. x_4=g(1{,}167213)\approx 1{,}167304.
  5. x_5 já difere de x_4 por menos que 5\cdot10^{-5}.
Arredondando:
\text{Ponto fixo: }x\approx 1{,}1673.

Passo 8

Resumo prático (para esta função \,x^{5}-x-1):
  • Bisseção: robusto e garantido — sempre converge se houver um intervalo com mudança de sinal. Converge linearmente e é relativamente lento (aqui precisou de 15 iterações). Bom quando precisamos de garantia absoluta sem conhecimento de derivadas.
  • Newton–Raphson: muito rápido (quadrático) quando a aproximação inicial está razoavelmente próxima e f'(x) não é zero. Requer cálculo de f'. Para esta função foi o melhor em termos de rapidez (3 iterações a partir de 1{,}2).
  • Secante: bom compromisso quando a derivada é cara ou desconhecida; converge mais rápido que bisseção, sem precisar de f'. Para nós convergiu em poucas iterações (ordem de 4–5).
  • Iteração de ponto fixo com g(x)=(x+1)^{1/5}: simples e convergente aqui (porque g' pequeno na raiz), mas converge linearmente (mais lenta que Newton e secante). Ainda assim, neste caso convergiu rápido o suficiente (4–5 iterações).
Como escolher o método em geral:
  • Se precisar de garantia e não confia nas aproximações iniciais: use Bisseção (ou método de falsa posição) até obter intervalo pequeno, depois troque para Newton para acelerar.
  • Se você pode calcular f' fácil e tem uma boa aproximação inicial: Newton é preferível (rápido).
  • Se f' for custosa ou indisponível: secante é boa alternativa.
  • Se conseguir reescrever como x=g(x) com g contração (i.e. |g'|<1 perto da raiz): iteração de ponto fixo funciona e é simples.
  • Sempre verifique comportamento (derivadas, monotonicidade, existência de múltiplas raízes na vizinhança) antes de escolher.
Visto o comportamento de f (derivada simples, raiz única e um bom chute inicial x_0=1{,}2), o método campeão aqui é Newton–Raphson por causa da rapidez. Secante e ponto fixo são também opções eficientes; bisseção é a escolha segura quando se precisa de robustez.

Resposta

Número de raízes reais: 1
Bisseção: 1,1673
Newton–Raphson: 1,1673
Secante: 1,1673
Ponto fixo g(x)=(x+1)^{1/5}: 1,1673
Melhor método (para esta função): Newton–Raphson (rápido, convergência quadrática, desde que se tenha um chute inicial razoável).

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