Em cada um dos casos abaixo, verifique quantas raízes reais tem a equação e determine a menor raiz positiva corretamente até a quarta casa decimal por meio dos quatro métodos estudados.
Qual o melhor método para cada função? Faça uma comparação entre os métodos. Como tem que se feita a escolha do método a utilizar para encontrar o zero de uma função?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas principais:
- Verificar quantas raízes reais tem a equação
. - Determinar a menor raiz positiva até a quarta casa decimal usando quatro métodos numéricos (vou usar: Bisseção, Newton–Raphson, Secante e Iteração de Ponto Fixo).
Informações dadas e úteis que já podemos extrair do enunciado:
Observei também (isso vou usar na resolução):
logo existe pelo menos uma raiz no intervalo
por Bolzano (intermediate value theorem).
A resolução numérica de cada método deve produzir a raiz até a quarta casa decimal (isto é, com erro menor que para garantir arredondamento correto).
A resolução numérica de cada método deve produzir a raiz até a quarta casa decimal (isto é, com erro menor que
Passo 2
Vamos primeiro decidir quantas raízes reais existem (sem resolver numericamente ainda), usando análise de derivadas e sinais:
Defina
. Calcule a derivada:
A equação
dá
Calculei numericamente
. Agora avalio
nesses pontos críticos:
- Para
:
então
- Para
:
logo
Como os dois extremos críticos dão valores negativos, a função tem um máximo local (em
) e um mínimo local (em
), ambos com valor negativo. Como
quando
e
quando
, isso implica que a função cruza o eixo
exatamente uma vez. Conclusão:
- A equação
tem exatamente uma raiz real. Essa raiz é positiva e encontra-se no intervalo (pois e ).
Passo 3
Antes de aplicar os métodos, explico brevemente cada método, a fórmula iterativa e o critério de parada que usarei (para obter 4 casas decimais corretas):
Critério de parada prático: vou parar quando a mudança entre iterações for menor que
(isso garante arredondamento correto na 4ª casa decimal) ou quando
ficar muito pequeno.
Métodos que vou usar:
- Bisseção: método de busca por intervalos. Dados
com , define . Substitui o intervalo por ou dependendo do sinal. Converge linearmente; erro máximo após iterações é . - Newton–Raphson: fórmula de iteração
Convergência quadrática quando a aproximação inicial é razoavelmente próxima e . - Secante: método que aproxima a derivada por diferença; usando
, Não precisa de derivada analítica; convergência superlinear (ordem ~1,618). - Iteração de ponto fixo (transformação bem escolhida): reescrevemos
como . Uma boa escolha aqui é pois . Se for contração numa vizinhança da raiz, a sequência converge linearmente.
Passo 4
Iniciamos com
,
, pois
e
.
Vou mostrar as primeiras iterações, registrar os pontos médios e o sinal de
. (Como explicado no Passo 3, precisamos de
tal que
. Com
obtemos
, ou
iterações.)
Iterações (média e sinal de
naquele ponto):
-
, → novo intervalo . -
, → . -
, → . -
, → . -
, → . -
, → . -
, → . -
, → . -
, → . -
, → . -
, → . -
, → . -
, → . -
, → . -
, → .
Após 15 iterações o intervalo tem largura
. Qualquer valor dentro do intervalo final arredondará para a mesma quarta casa decimal. Tomando, por exemplo, o ponto médio do intervalo final ou um dos
, obtemos a aproximação (arredondando corretamente à quarta casa decimal):
Passo 5
Lembrete da fórmula:
Escolhi
(próximo e simples). Iterações (mostro valores arredondados com bastante casas para ver a convergência):
-
.
-
. Calculei e . -
. Calculei (já muito pequeno) e .
A diferença entre
e
já é menor que
, e
coincide com a raiz conhecida com precisão alta. Arredondando à quarta casa decimal:
Observação prática: Newton foi muito rápido (convergência quadrática), chegando à precisão desejada em 3 iterações a partir de
.
Passo 6
Fórmula do secante:
Escolhi pontos iniciais próximos:
e
(assim aproveitamos um ponto com
e outro com
).
Cálculos (valores arredondados nas contas mostradas):
-
, .
- Aplicando a fórmula:
Calculei
.
- Com
e aplico secante:
Calculei
.
- Próxima iteração com
e :
Calculei
.
- Mais uma iteração entre
e dá:
Assim, o método da secante também chega à precisão desejada em poucas iterações. Arredondando:
Passo 7
Transformei
em
com
Verificação rápida: perto da raiz a derivada
tem valor bem menor que 1 (ex.: em
,
), indicando que
é uma contração local e a iteração
converge linearmente.
Iterando a partir de
:
-
-
-
-
-
já difere de por menos que .
Arredondando:
Passo 8
Resumo prático (para esta função
):
- Bisseção: robusto e garantido — sempre converge se houver um intervalo com mudança de sinal. Converge linearmente e é relativamente lento (aqui precisou de 15 iterações). Bom quando precisamos de garantia absoluta sem conhecimento de derivadas.
- Newton–Raphson: muito rápido (quadrático) quando a aproximação inicial está razoavelmente próxima e
não é zero. Requer cálculo de . Para esta função foi o melhor em termos de rapidez (3 iterações a partir de ). - Secante: bom compromisso quando a derivada é cara ou desconhecida; converge mais rápido que bisseção, sem precisar de
. Para nós convergiu em poucas iterações (ordem de 4–5). - Iteração de ponto fixo com
: simples e convergente aqui (porque pequeno na raiz), mas converge linearmente (mais lenta que Newton e secante). Ainda assim, neste caso convergiu rápido o suficiente (4–5 iterações).
Como escolher o método em geral:
- Se precisar de garantia e não confia nas aproximações iniciais: use Bisseção (ou método de falsa posição) até obter intervalo pequeno, depois troque para Newton para acelerar.
- Se você pode calcular
fácil e tem uma boa aproximação inicial: Newton é preferível (rápido). - Se
for custosa ou indisponível: secante é boa alternativa. - Se conseguir reescrever como
com contração (i.e. perto da raiz): iteração de ponto fixo funciona e é simples. - Sempre verifique comportamento (derivadas, monotonicidade, existência de múltiplas raízes na vizinhança) antes de escolher.
Visto o comportamento de
(derivada simples, raiz única e um bom chute inicial
), o método campeão aqui é Newton–Raphson por causa da rapidez. Secante e ponto fixo são também opções eficientes; bisseção é a escolha segura quando se precisa de robustez.
Resposta
Número de raízes reais: 1
Bisseção:
Newton–Raphson:
Secante:
Ponto fixo :
Melhor método (para esta função): Newton–Raphson (rápido, convergência quadrática, desde que se tenha um chute inicial razoável).
Bisseção:
Newton–Raphson:
Secante:
Ponto fixo
Melhor método (para esta função): Newton–Raphson (rápido, convergência quadrática, desde que se tenha um chute inicial razoável).