(15 pontos) Dada a matriz A :
A=\left[\begin{array}{ccc} 3 & 4 & 1 \\\\ -3 & -2 & -2 \\\\ 6 & 4 & 1 \end{array}\right]
Cuja decomposição LU é:
L U=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\\\ -1 & 1 & 0 \\\\ 2 & -2 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc} 3 & 4 & 1 \\\\ 0 & 2 & -1 \\\\ 0 & 0 & -3 \end{array}\right]
Responda: quais são os multiplicadores do 1^{\circ} e 2^{\circ} passo da eliminação de Gauss?
Resposta:

Passo 1

O enunciado pede: quais são os multiplicadores do 1^{\circ} e do 2^{\circ} passo da eliminação de Gauss, dada a matriz A e sua decomposição LU.
Informações fornecidas (peguei estes dados do enunciado):
A=\begin{bmatrix} 3 & 4 & 1\\[4pt] -3 & -2 & -2\\[4pt] 6 & 4 & 1 \end{bmatrix}
L=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] -1 & 1 & 0\\[4pt] 2 & -2 & 1 \end{bmatrix},\qquad U=\begin{bmatrix} 3 & 4 & 1\\[4pt] 0 & 2 & -1\\[4pt] 0 & 0 & -3 \end{bmatrix}
O que devemos retornar: os multiplicadores usados no primeiro passo (para eliminar abaixo do pivô a_{11}) e os multiplicadores usados no segundo passo (para eliminar abaixo do pivô já atualizado a_{22}^{(1)}).]

Passo 2

O que é um multiplicador na eliminação de Gauss e como calculá-lo.
Definição: para eliminar a entrada a_{i1} (com i>1) usando o pivô a_{11}, usa-se o multiplicador
m_{i1}=\frac{a_{i1}}{a_{11}}.
Aqui, a_{i1} é a entrada da linha i e coluna 1 da matriz no estágio atual (antes da eliminação do passo), e a_{11} é o pivô (entrada da primeira linha e primeira coluna). Depois aplica-se a operação linha i \leftarrow linha i - m_{i1}\times linha 1.

Passo 3

Cálculo dos multiplicadores do primeiro passo.
Usando a fórmula m_{i1}=\dfrac{a_{i1}}{a_{11}} com os elementos da matriz A:
  • Para i=2:
m_{21}=\frac{a_{21}}{a_{11}}=\frac{-3}{3}=-1.
  • Para i=3:
m_{31}=\frac{a_{31}}{a_{11}}=\frac{6}{3}=2.
Isto significa que, no primeiro passo, aplicam-se as operações
\text{linha}_2 \leftarrow \text{linha}_2 - m_{21}\,\text{linha}_1=\text{linha}_2 - (-1)\,\text{linha}_1,
\text{linha}_3 \leftarrow \text{linha}_3 - m_{31}\,\text{linha}_1=\text{linha}_3 - 2\,\text{linha}_1.

Passo 4

Obter a matriz após o primeiro passo (para calcular o multiplicador do segundo passo).
Aplicando as operações do passo anterior:
  • Nova linha 2:
\text{linha}_2 = [-3,\,-2,\,-2] - (-1)\cdot[3,\,4,\,1] = [-3,\,-2,\,-2]+[3,\,4,\,1]=[0,\,2,\,-1].
  • Nova linha 3:
\text{linha}_3 = [6,\,4,\,1] - 2\cdot[3,\,4,\,1] =[6,\,4,\,1]-[6,\,8,\,2]=[0,\,-4,\,-1].
A segunda linha (após o primeiro passo) tem pivô a_{22}^{(1)}=2. A entrada a eliminar na coluna 2, linha 3, é a_{32}^{(1)}=-4.

Passo 5

Cálculo do multiplicador do segundo passo.
Para eliminar a_{32}^{(1)} usando o pivô a_{22}^{(1)} calcula-se
m_{32}=\frac{a_{32}^{(1)}}{a_{22}^{(1)}}=\frac{-4}{2}=-2.
Isso corresponde à operação
\text{linha}_3 \leftarrow \text{linha}_3 - m_{32}\,\text{linha}_2 = \text{linha}_3 - (-2)\,\text{linha}_2.

Passo 6

Verificação rápida com a matriz L fornecida: na decomposição A=LU os multiplicadores ficam armazenados em L abaixo da diagonal principal. Os elementos relevantes de L são l_{21}= -1, l_{31}=2 e l_{32}=-2, coincidindo com os valores calculados acima.

Resposta

1^{\circ}\ passo:\ m_{21}=-1,\\ m_{31}=2
2^{\circ}\ passo:\ m_{32}=-2

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