e pede para determinar A^{-1}, a matriz inversa de A.
Informações relevantes dadas:
A é uma matriz 3\times3.
Os elementos da diagonal principal são todos 1.
Há zeros abaixo da diagonal (ou seja, A é triangular superior).
O que se pede: encontrar a matriz A^{-1} tal que A A^{-1}=I_3, onde I_3 é a matriz identidade 3\times3.]
Passo 2
Definição e estratégia prática:
Por definição, A^{-1} é a matriz que satisfaz A A^{-1}=I_3.
Uma maneira prática de encontrar A^{-1} é resolver três sistemas linearesA x^{(1)}=e^{(1)},\qquad A x^{(2)}=e^{(2)},\qquad A x^{(3)}=e^{(3)},onde e^{(1)},e^{(2)},e^{(3)} são as colunas da identidade I_3:e^{(1)}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix},\quad e^{(2)}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix},\quad e^{(3)}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix}.As soluções x^{(j)} serão as colunas de A^{-1}.
Observação útil: como A é triangular superior com todos os elementos da diagonal iguais a 1, seu determinante é o produto da diagonal, \det(A)=1, então A é invertível. Além disso, para sistemas com matriz triangular é eficiente usar substituição regressiva (back substitution).]
Passo 3
Explicação da substituição regressiva (passo a passo):
Para um sistema A x = b com A triangular superior, começa-se pela última equação (terceira) e vai-se subindo, porque a terceira equação envolve somente x_3, a segunda envolve x_2 e x_3, e a primeira envolve x_1,x_2,x_3.
Vou aplicar isso três vezes, uma para cada vetor e^{(j)}.
Observação prática: para matrizes triangulares superiores com 1’s na diagonal, a inversa é também triangular superior com 1’s na diagonal; as entradas acima da diagonal da inversa podem ser obtidas por resolver sistemas simples como fizemos. Isso acelera muito o cálculo em prova.