Determine a inversa de A=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado fornece a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\[4pt] 0 & 1 & 2 \\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
e pede para determinar A^{-1}, a matriz inversa de A.
Informações relevantes dadas:
  • A é uma matriz 3\times3.
  • Os elementos da diagonal principal são todos 1.
  • Há zeros abaixo da diagonal (ou seja, A é triangular superior).
  • O que se pede: encontrar a matriz A^{-1} tal que A A^{-1}=I_3, onde I_3 é a matriz identidade 3\times3.]

Passo 2

Definição e estratégia prática:
  • Por definição, A^{-1} é a matriz que satisfaz A A^{-1}=I_3.
  • Uma maneira prática de encontrar A^{-1} é resolver três sistemas lineares A x^{(1)}=e^{(1)},\qquad A x^{(2)}=e^{(2)},\qquad A x^{(3)}=e^{(3)},onde e^{(1)},e^{(2)},e^{(3)} são as colunas da identidade I_3: e^{(1)}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix},\quad e^{(2)}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix},\quad e^{(3)}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix}.As soluções x^{(j)} serão as colunas de A^{-1}.
  • Observação útil: como A é triangular superior com todos os elementos da diagonal iguais a 1, seu determinante é o produto da diagonal, \det(A)=1, então A é invertível. Além disso, para sistemas com matriz triangular é eficiente usar substituição regressiva (back substitution).]

Passo 3

Explicação da substituição regressiva (passo a passo):
  • Para um sistema A x = b com A triangular superior, começa-se pela última equação (terceira) e vai-se subindo, porque a terceira equação envolve somente x_3, a segunda envolve x_2 e x_3, e a primeira envolve x_1,x_2,x_3.
  • Vou aplicar isso três vezes, uma para cada vetor e^{(j)}.

Passo 4

Resolver A x^{(1)} = e^{(1)}\). Escrevendo o sistema (linha a linha): \[\begin{cases} 1\cdot x_1 + 0\cdot x_2 + 1\cdot x_3 = 1,\\[4pt] 0\cdot x_1 + 1\cdot x_2 + 2\cdot x_3 = 0,\\[4pt] 0\cdot x_1 + 0\cdot x_2 + 1\cdot x_3 = 0. \end{cases}
Resolvendo de baixo para cima:
  • Da terceira equação: x_3=0\]. - Da segunda: \(x_2 + 2x_3 = 0 \Rightarrow x_2 + 2\cdot 0 = 0 \Rightarrow x_2=0.
    - Da primeira: x_1 + x_3 = 1 \Rightarrow x_1 + 0 = 1 \Rightarrow x_1=1.
Portanto x^{(1)}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix}. Esta será a primeira coluna de A^{-1}.]

Passo 5

Resolver A x^{(2)} = e^{(2)}\). Sistema: \[\begin{cases} x_1 + 0\cdot x_2 + x_3 = 0,\\[4pt] x_2 + 2x_3 = 1,\\[4pt] x_3 = 0. \end{cases}
Resolvendo:
  • Da terceira: x_3=0\]. - Da segunda: \(x_2 + 2\cdot 0 = 1 \Rightarrow x_2=1.
    - Da primeira: x_1 + x_3 = 0 \Rightarrow x_1 + 0 = 0 \Rightarrow x_1=0.
Portanto x^{(2)}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix}. Esta é a segunda coluna de A^{-1}.]

Passo 6

Resolver A x^{(3)} = e^{(3)}\). Sistema: \[\begin{cases} x_1 + x_3 = 0,\\[4pt] x_2 + 2x_3 = 0,\\[4pt] x_3 = 1. \end{cases}
Resolvendo:
  • Da terceira: x_3=1\]. - Da segunda: \(x_2 + 2\cdot 1 = 0 \Rightarrow x_2 = -2.
    - Da primeira: x_1 + 1 = 0 \Rightarrow x_1 = -1.
Portanto x^{(3)}=\begin{pmatrix}-1\\[2pt]-2\\[2pt]1\end{pmatrix}. Esta é a terceira coluna de A^{-1}.]

Passo 7

Montar A^{-1} juntando as colunas encontradas:
A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\[4pt] 0 & 1 & -2\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 8

Verificação rápida (checar A A^{-1}=I_3):
  • Calcular produto coluna a coluna (mostrando apenas os resultados essenciais):
    • Primeira coluna de A A^{-1}: A\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}=e^{(1)}.
    • Segunda coluna: A\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}=e^{(2)}.
    • Terceira coluna: A\begin{pmatrix}-1\\\ -2\\\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}=e^{(3)}.
  • Assim A A^{-1}=I_3, verificação concluída.

Passo 9

Comentário final e dica rápida:
  • Observação prática: para matrizes triangulares superiores com 1’s na diagonal, a inversa é também triangular superior com 1’s na diagonal; as entradas acima da diagonal da inversa podem ser obtidas por resolver sistemas simples como fizemos. Isso acelera muito o cálculo em prova.

Resposta

A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\[4pt] 0 & 1 & -2\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}]

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