Resolva via GS o SL: \left(\begin{array}{ccc}2 & 4 & 2 \\\\ 1 & 1 & -1 \\\\ -2 & -1 & 4\end{array}\right) \cdot \mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}6 \\\\ 2 \\\\ -3\end{array}\right). Verifique antes que o método é capaz de gerar uma sequência convergente. Considere ainda \epsilon=10^{-3} e número máximo de iterações igual a três.
Antes de iterar, verifique se o método é capaz de gerar uma sequência convergente (ou seja, verificação de convergência);
Use tolerância \epsilon=10^{-3} e número máximo de iterações igual a 3.
Dados importantes fornecidos:
Matriz A e vetor \mathbf{b} como acima.
Critério de parada: diferença entre iterações (ou outra norma) menor que \epsilon=10^{-3}.
Máximo de 3 iterações.]
Passo 2
O que é o método de Gauss–Seidel e como ele funciona (aula rápida e prática).
O método itera resolvendo cada equação para a incógnita principal usando os valores mais recentes das outras incógnitas. Se a matriz for A dividimos A=D+L+U, onde:
D é a diagonal de A,
L é a parte estritamente triangular inferior de A,
U é a parte estritamente triangular superior de A.
O “matriz de iteração” (que manda \mathbf{x}^{(k)} para \mathbf{x}^{(k+1)} sem o termo constante) é
M_{GS}=-(D+L)^{-1}U.
Critério de convergência: o método converge para qualquer \mathbf{x}^{(0)} se, e somente se, o raio espectral \rho(M_{GS})<1. Uma condição suficiente mais simples (mas não necessária) é a dominância diagonal estrita por linhas: |a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}| para toda linha i.
Verificação de dominância diagonal (condição suficiente):
Linha 1: |a_{11}|=2 e soma das outras |4|+|2|=6. Não vale |2|>6.
Linha 2: |a_{22}|=1 e soma |1|+|{-1}|=2. Não vale |1|>2.
Linha 3: |a_{33}|=4 e soma |{-2}|+|{-1}|=3. Aqui vale |4|>3.
Conclusão: a matriz NÃO é estritamente diagonal dominante por linhas, logo não podemos garantir convergência usando essa condição.]
Passo 4
Calcular explicitamente a matriz de iteração [M_{GS}=-(D+L)^{-1}U) e seu raio espectral (isto dá a verificação precisa).
e os autovalores são \lambda_1=0 e \lambda_{2,3}=1. Portanto
\rho(M_{GS})=\max|\lambda_i|=1.
Interpretação: como \rho(M_{GS})=1 (e NÃO estritamente menor que 1), o critério necessário e suficiente para convergência global não é satisfeito. Logo o método de Gauss–Seidel NÃO tem garantia de convergir para todo chute inicial; de fato pode divergir ou não convergir. Isso responde a verificação pedida: o método não é capaz de garantir uma sequência convergente para este sistema.]
Passo 5
Apesar da falta de garantia, vou executar as iterações pedidas (máximo 3) para ver o comportamento numérico. Escolho o chute inicial usual
Verificação do critério de parada pedido (\epsilon=10^{-3}):
Compute diferenças entre iterações (norma infinito, isto é máximo de valores absolutos das diferenças):\|\mathbf{x}^{(1)}-\mathbf{x}^{(0)}\|_\infty=\max(|3|,|{-1}|,|0,5|)=3,
Todas essas diferenças são muito maiores que \epsilon=10^{-3}. Portanto NÃO houve convergência dentro de 3 iterações.
Observação: os iterados estão crescendo linearmente (padrão observado: x_1 aumenta, x_2 diminui, x_3 aumenta), coerente com a conclusão teórica anterior (\rho(M_{GS})=1) — por isso não há convergência.
Resposta
Verificação de convergência: não garantida — o raio espectral da matriz de iteração é \rho(M_{GS})=1 (autovalores 0,1,1), logo não se tem \rho(M_{GS})<1.