Resolva via GS o SL: \left(\begin{array}{ccc}2 & 4 & 2 \\\\ 1 & 1 & -1 \\\\ -2 & -1 & 4\end{array}\right) \cdot \mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}6 \\\\ 2 \\\\ -3\end{array}\right). Verifique antes que o método é capaz de gerar uma sequência convergente. Considere ainda \epsilon=10^{-3} e número máximo de iterações igual a três.

Passo 1

O enunciado pede que eu:
  • Resolva o sistema linear
\begin{pmatrix}2 & 4 & 2 \\[4pt] 1 & 1 & -1 \\[4pt] -2 & -1 & 4\end{pmatrix}\mathbf{x}=\begin{pmatrix}6\\[4pt]2\\[4pt]-3\end{pmatrix}
usando o método de Gauss–Seidel (GS);
  • Antes de iterar, verifique se o método é capaz de gerar uma sequência convergente (ou seja, verificação de convergência);
  • Use tolerância \epsilon=10^{-3} e número máximo de iterações igual a 3.
Dados importantes fornecidos:
  • Matriz A e vetor \mathbf{b} como acima.
  • Critério de parada: diferença entre iterações (ou outra norma) menor que \epsilon=10^{-3}.
  • Máximo de 3 iterações.]

Passo 2

O que é o método de Gauss–Seidel e como ele funciona (aula rápida e prática).
  • O método itera resolvendo cada equação para a incógnita principal usando os valores mais recentes das outras incógnitas. Se a matriz for A dividimos A=D+L+U, onde:
    • D é a diagonal de A,
    • L é a parte estritamente triangular inferior de A,
    • U é a parte estritamente triangular superior de A.
  • A forma matricial da iteração de Gauss–Seidel é
\mathbf{x}^{(k+1)}=(D+L)^{-1}(\mathbf{b}-U\mathbf{x}^{(k)}).
  • O “matriz de iteração” (que manda \mathbf{x}^{(k)} para \mathbf{x}^{(k+1)} sem o termo constante) é
M_{GS}=-(D+L)^{-1}U.
  • Critério de convergência: o método converge para qualquer \mathbf{x}^{(0)} se, e somente se, o raio espectral \rho(M_{GS})<1. Uma condição suficiente mais simples (mas não necessária) é a dominância diagonal estrita por linhas: |a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}| para toda linha i.

Passo 3

Aplicando as definições à matriz do enunciado:
A=\begin{pmatrix}2 & 4 & 2 \\[4pt] 1 & 1 & -1 \\[4pt] -2 & -1 & 4\end{pmatrix}.
Extraio D,L,U:
D=\begin{pmatrix}2&0&0\\[4pt]0&1&0\\[4pt]0&0&4\end{pmatrix},\qquad L=\begin{pmatrix}0&0&0\\[4pt]1&0&0\\[4pt]-2&-1&0\end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix}0&4&2\\[4pt]0&0&-1\\[4pt]0&0&0\end{pmatrix}.
Verificação de dominância diagonal (condição suficiente):
  • Linha 1: |a_{11}|=2 e soma das outras |4|+|2|=6. Não vale |2|>6.
  • Linha 2: |a_{22}|=1 e soma |1|+|{-1}|=2. Não vale |1|>2.
  • Linha 3: |a_{33}|=4 e soma |{-2}|+|{-1}|=3. Aqui vale |4|>3.
    Conclusão: a matriz NÃO é estritamente diagonal dominante por linhas, logo não podemos garantir convergência usando essa condição.]

Passo 4

Calcular explicitamente a matriz de iteração [M_{GS}=-(D+L)^{-1}U) e seu raio espectral (isto dá a verificação precisa).
Primeiro calculemos (D+L):
D+L=\begin{pmatrix}2&0&0\\[4pt]1&1&0\\[4pt]-2&-1&4\end{pmatrix},
que é triangular inferior; para achar (D+L)^{-1}U resolvo sistemas triangulares coluna a coluna. As colunas de U são
u_1=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix},\quad u_2=\begin{pmatrix}4\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix},\quad u_3=\begin{pmatrix}2\\[4pt]-1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Resolver (D+L)x=u_j para cada coluna:
  • Para u_1=\mathbf{0} a solução é x^{(1)}=\mathbf{0}.
  • Para u_2=\begin{pmatrix}4\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}, escrevendo x=(x_1,x_2,x_3)^T:
    \begin{cases} 2x_1=4 \Rightarrow x_1=2,\\[4pt] x_1+x_2=0 \Rightarrow x_2=-2,\\[4pt] -2x_1 - x_2 +4x_3=0 \Rightarrow -4+2+4x_3=0 \Rightarrow x_3=\tfrac{1}{2}. \end{cases}
    Logo a segunda coluna de (D+L)^{-1}U\] é \[\begin{pmatrix}2\\[4pt]-2\\[4pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.
  • Para u_3=\begin{pmatrix}2\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix}, com x=(x_1,x_2,x_3)^T:
    \begin{cases} 2x_1=2 \Rightarrow x_1=1,\\[4pt] x_1+x_2=-1 \Rightarrow 1+x_2=-1 \Rightarrow x_2=-2,\\[4pt] -2x_1 - x_2 +4x_3=0 \Rightarrow -2+2+4x_3=0 \Rightarrow x_3=0. \end{cases}
    Então a terceira coluna é ( \begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\\[4pt]0\end{pmatrix}].
Portanto
(D+L)^{-1}U=\begin{pmatrix}0 & 2 & 1\\[4pt]0 & -2 & -2\\[4pt]0 & \tfrac{1}{2} & 0\end{pmatrix}.
E assim
M_{GS}=-(D+L)^{-1}U=\begin{pmatrix}0 & -2 & -1\\[4pt]0 & 2 & 2\\[4pt]0 & -\tfrac{1}{2} & 0\end{pmatrix}.
Agora encontro os autovalores de M_{GS}. A matriz tem a primeira coluna nula, então o polinômio característico é:
\det(M_{GS}-\lambda I) = -\lambda\det\begin{pmatrix}2-\lambda & 2\\[4pt]-\tfrac{1}{2} & -\lambda\end{pmatrix}.
Calcule o determinante 2×2:
(2-\lambda)(-\lambda)-2\Big(-\tfrac{1}{2}\Big)=-(2-\lambda)\lambda+1=\lambda^2-2\lambda+1=(\lambda-1)^2.
Logo o polinômio é
-\lambda(\lambda-1)^2,
e os autovalores são \lambda_1=0 e \lambda_{2,3}=1. Portanto
\rho(M_{GS})=\max|\lambda_i|=1.
Interpretação: como \rho(M_{GS})=1 (e NÃO estritamente menor que 1), o critério necessário e suficiente para convergência global não é satisfeito. Logo o método de Gauss–Seidel NÃO tem garantia de convergir para todo chute inicial; de fato pode divergir ou não convergir. Isso responde a verificação pedida: o método não é capaz de garantir uma sequência convergente para este sistema.]

Passo 5

Apesar da falta de garantia, vou executar as iterações pedidas (máximo 3) para ver o comportamento numérico. Escolho o chute inicial usual
\mathbf{x}^{(0)}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Antes de iterar, isolamos as incógnitas das equações para uso direto de Gauss–Seidel (fórmulas úteis na prova):
a partir de
\begin{cases} 2x_1+4x_2+2x_3=6,\\[4pt] x_1+x_2-x_3=2,\\[4pt] -2x_1-x_2+4x_3=-3, \end{cases}
temos as fórmulas (resolver cada equação para a incógnita da diagonal):
x_1=3-2x_2-x_3,\qquad x_2=2-x_1+x_3,\qquad x_3=\frac{-3+2x_1+x_2}{4}.
No Gauss–Seidel cada nova componente usa os valores já atualizados da iteração corrente.]

Passo 6

Iteração 1 ( k=0\to1), com \mathbf{x}^{(0)}=(0,0,0)^T:
x_1^{(1)}=3-2\cdot 0-0=3.
x_2^{(1)}=2-x_1^{(1)}+0=2-3=-1.
x_3^{(1)}=\frac{-3+2\cdot 3+(-1)}{4}=\frac{-3+6-1}{4}=\frac{2}{4}=0,5.
Logo
\mathbf{x}^{(1)}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]-1\\[4pt]0,5\end{pmatrix}.]

Passo 7

Iteração 2 ( k=1\to2):
x_1^{(2)}=3-2x_2^{(1)}-x_3^{(1)}=3-2(-1)-0,5=3+2-0,5=4,5.
x_2^{(2)}=2-x_1^{(2)}+x_3^{(1)}=2-4,5+0,5=-2.
x_3^{(2)}=\frac{-3+2x_1^{(2)}+x_2^{(2)}}{4}=\frac{-3+2\cdot 4,5+(-2)}{4}=\frac{-3+9-2}{4}=\frac{4}{4}=1.
Logo
\mathbf{x}^{(2)}=\begin{pmatrix}4,5\\[4pt]-2\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 8

Iteração 3 ( k=2\to3):
x_1^{(3)}=3-2x_2^{(2)}-x_3^{(2)}=3-2(-2)-1=3+4-1=6.
x_2^{(3)}=2-x_1^{(3)}+x_3^{(2)}=2-6+1=-3.
x_3^{(3)}=\frac{-3+2x_1^{(3)}+x_2^{(3)}}{4}=\frac{-3+2\cdot 6+(-3)}{4}=\frac{-3+12-3}{4}=\frac{6}{4}=1,5.
Logo
\mathbf{x}^{(3)}=\begin{pmatrix}6\\[4pt]-3\\[4pt]1,5\end{pmatrix}.]

Passo 9

Verificação do critério de parada pedido ( \epsilon=10^{-3}):
  • Compute diferenças entre iterações (norma infinito, isto é máximo de valores absolutos das diferenças): \|\mathbf{x}^{(1)}-\mathbf{x}^{(0)}\|_\infty=\max(|3|,|{-1}|,|0,5|)=3,
\|\mathbf{x}^{(2)}-\mathbf{x}^{(1)}\|_\infty=\max(|4,5-3|,|{-2}-(-1)|,|1-0,5|)=\max(1,1,0,5)=1,
\|\mathbf{x}^{(3)}-\mathbf{x}^{(2)}\|_\infty=\max(|6-4,5|,|{-3}-(-2)|,|1,5-1|)=\max(1,1,0,5)=1.
  • Todas essas diferenças são muito maiores que \epsilon=10^{-3}. Portanto NÃO houve convergência dentro de 3 iterações.
Observação: os iterados estão crescendo linearmente (padrão observado: x_1 aumenta, x_2 diminui, x_3 aumenta), coerente com a conclusão teórica anterior ( \rho(M_{GS})=1) — por isso não há convergência.

Resposta

Verificação de convergência: não garantida — o raio espectral da matriz de iteração é \rho(M_{GS})=1 (autovalores 0,1,1), logo não se tem \rho(M_{GS})<1.
Iterações (com \mathbf{x}^{(0)}=(0,0,0)^T, \epsilon=10^{-3}, máximo 3 iterações):
\mathbf{x}^{(1)}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]-1\\[4pt]0,5\end{pmatrix}
\mathbf{x}^{(2)}=\begin{pmatrix}4,5\\[4pt]-2\\[4pt]1\end{pmatrix}
\mathbf{x}^{(3)}=\begin{pmatrix}6\\[4pt]-3\\[4pt]1,5\end{pmatrix}
Conclusão: não houve convergência dentro de 3 iterações (diferenças entre iterações são maiores que \epsilon).]

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