(25 pontos) Seja f(x)=e^{x}-4 x^{2} e considere que existe uma raiz no intervalo (0,1). Tomando x_{0}=0.5 como aproximação inicial, encontre a raiz aproximada aplicando duas iterações do Método do Ponto Fixo com função de iteração dada por:
\varphi(x)=\frac{1}{2} e^{\frac{x}{2}}
Utilize nos cálculos arredondamento com duas casas decimais.

Passo 1

O enunciado dá:
  • A função f(x)=e^{x}-4x^{2} e afirma que existe uma raiz em (0,1).
  • A função de iteração escolhida é \varphi(x)=\dfrac{1}{2}e^{\frac{x}{2}}.
  • Aproximação inicial: x_{0}=0,5.
    O que se pede:
  • Aplicar duas iterações do Método do Ponto Fixo usando \varphi e, em cada cálculo, executar arredondamento com duas casas decimais. Ou seja, calcular x_{1}=\varphi(x_{0}) (arredondado a duas casas) e em seguida x_{2}=\varphi(x_{1}) (usando o x_{1} já arredondado).

Passo 2

Breve explicação didática do Método do Ponto Fixo e da regra de iteração:
  • A ideia é buscar um ponto x tal que x=\varphi(x). Esse x é um ponto fixo de \varphi e, se \varphi estiver bem escolhida, esse ponto fixo coincide com a raiz desejada de f.
  • A regra iterativa é
x_{n+1}=\varphi(x_{n}).
  • Aqui vamos aplicar essa fórmula duas vezes, e obedecer o pedido do enunciado: após cada iteração arredondamos o resultado para duas casas decimais e usamos esse valor arredondado na iteração seguinte.
Como calcular e^{t} sem depender de uma calculadora (método prático para a prova):
  • Uma forma simples é usar a série de Taylor truncada:
e^{t}\approx 1 + t + \frac{t^{2}}{2!} + \frac{t^{3}}{3!} + \frac{t^{4}}{4!},
o que já dá precisão suficiente para os t pequenos que teremos e para arredondar a duas casas decimais. Vou aplicar essa soma para t=\tfrac{x}{2} em cada iteração.

Passo 3

Cálculo de x_{1}=\varphi(x_{0}) com x_{0}=0,5.
  • Primeiro calcular t=\dfrac{x_{0}}{2}=\dfrac{0,5}{2}=0,25.
  • Usando a série:
e^{0,25}\approx 1 + 0,25 + \frac{0,25^{2}}{2} + \frac{0,25^{3}}{6} + \frac{0,25^{4}}{24}.
Agora os termos numericamente:
1 + 0,25 + \frac{0,0625}{2} + \frac{0,015625}{6} + \frac{0,00390625}{24}
=1 + 0,25 + 0,03125 + 0,0026041667 + 0,0001627604
\approx 1,2840169271.
  • Então
\varphi(0,5)=\frac{1}{2}e^{0,25}\approx \frac{1}{2}\cdot 1,2840169271 \approx 0,6420084636.
  • Aplicando o arredondamento com duas casas decimais (conforme pedido), obtemos
x_{1}=0,64.
(Observação: este x_{1} arredondado será o número usado na próxima iteração.)

Passo 4

Cálculo de x_{2}=\varphi(x_{1}) usando x_{1}=0,64 (já arredondado).
  • Primeiro t=\dfrac{x_{1}}{2}=\dfrac{0,64}{2}=0,32.
  • Usando a série:
e^{0,32}\approx 1 + 0,32 + \frac{0,32^{2}}{2} + \frac{0,32^{3}}{6} + \frac{0,32^{4}}{24}.
Termos numéricos:
1 + 0,32 + \frac{0,1024}{2} + \frac{0,032768}{6} + \frac{0,01048576}{24}
=1 + 0,32 + 0,0512 + 0,0054613333 + 0,0004369067
\approx 1,37709824.
  • Então
\varphi(0,64)=\frac{1}{2}e^{0,32}\approx \frac{1}{2}\cdot 1,37709824 \approx 0,68854912.
  • Arredondando com duas casas decimais, obtemos
x_{2}=0,69.

Resposta

x_{1}=0,64
x_{2}=0,69

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