(25 pontos) Seja
e considere que existe uma raiz no intervalo
. Tomando
como aproximação inicial, encontre a raiz aproximada aplicando duas iterações do Método do Ponto Fixo com função de iteração dada por:
Utilize nos cálculos arredondamento com duas casas decimais.
Passo 1
O enunciado dá:
- A função
e afirma que existe uma raiz em . - A função de iteração escolhida é
. - Aproximação inicial:
.
O que se pede: - Aplicar duas iterações do Método do Ponto Fixo usando
e, em cada cálculo, executar arredondamento com duas casas decimais. Ou seja, calcular (arredondado a duas casas) e em seguida (usando o já arredondado).
Passo 2
Breve explicação didática do Método do Ponto Fixo e da regra de iteração:
- A ideia é buscar um ponto
tal que . Esse é um ponto fixo de e, se estiver bem escolhida, esse ponto fixo coincide com a raiz desejada de . - A regra iterativa é
- Aqui vamos aplicar essa fórmula duas vezes, e obedecer o pedido do enunciado: após cada iteração arredondamos o resultado para duas casas decimais e usamos esse valor arredondado na iteração seguinte.
Como calcular
sem depender de uma calculadora (método prático para a prova):
- Uma forma simples é usar a série de Taylor truncada:
o que já dá precisão suficiente para os
pequenos que teremos e para arredondar a duas casas decimais. Vou aplicar essa soma para
em cada iteração.
Passo 3
Cálculo de
com
.
- Primeiro calcular
. - Usando a série:
Agora os termos numericamente:
- Então
- Aplicando o arredondamento com duas casas decimais (conforme pedido), obtemos
(Observação: este
arredondado será o número usado na próxima iteração.)
Passo 4
Cálculo de
usando
(já arredondado).
- Primeiro
. - Usando a série:
Termos numéricos:
- Então
- Arredondando com duas casas decimais, obtemos