17- Se um círculo de área
e raio
está inscrito em um quadrado de área
, é correto afirmar que A - B é:
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Um círculo tem área
e raio . - Esse círculo está inscrito em um quadrado cuja área é
. - Pergunta: qual é o valor de
? (Opções dadas: a) , b) , c) .)
Estas são todas as informações relevantes do enunciado.
Passo 2
Entendendo o que significa “círculo inscrito num quadrado”. Quando um círculo está inscrito em um quadrado, ele toca todos os quatro lados do quadrado. Isso implica que o diâmetro do círculo é igual ao comprimento do lado do quadrado. Se o raio do círculo é
, então o diâmetro é
. Portanto o lado do quadrado (vou chamar de
) é
Passo 3
Fórmula da área do círculo. A área
de um círculo de raio
é dada por
onde
é a constante aproximadamente igual a
e
é o raio do círculo. Aqui cada símbolo significa:
é o número que relaciona a circunferência com o diâmetro;
é a distância do centro até a borda;
é o quadrado desse raio.
Passo 4
Fórmula da área do quadrado. A área
de um quadrado de lado
é
Como vimos no Passo 2,
. Substituindo,
Aqui cada símbolo:
é o comprimento do lado do quadrado, e ao elevar ao quadrado obtemos a área.
Passo 5
Agora subtraímos as áreas para obter
. Usamos as expressões dos Passos 3 e 4:
Fatorando
em evidência (isso significa tirar o fator comum para simplificar),
Esse é o resultado algébrico final da diferença das áreas.
Passo 6
Verificação rápida e comentário prático (para ganhar confiança): se quisermos um número, suponha
. Então
e
. A diferença é
, que coincide com
. Observe que a diferença pode ser negativa se o quadrado for maior que o círculo (o que acontece aqui), e a expressão
captura isso corretamente porque
é negativo.
Resposta
b)