17- Se um círculo de área A e raio r está inscrito em um quadrado de área B, é correto afirmar que A - B é:
a) r^{2}(4+\pi)
b) r^{2}(\pi-4)
c) r(\pi-4)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Um círculo tem área A e raio r.
  • Esse círculo está inscrito em um quadrado cuja área é B.
  • Pergunta: qual é o valor de A - B? (Opções dadas: a) r^{2}(4+\pi), b) r^{2}(\pi-4), c) r(\pi-4).)
    Estas são todas as informações relevantes do enunciado.

Passo 2

Entendendo o que significa “círculo inscrito num quadrado”. Quando um círculo está inscrito em um quadrado, ele toca todos os quatro lados do quadrado. Isso implica que o diâmetro do círculo é igual ao comprimento do lado do quadrado. Se o raio do círculo é r, então o diâmetro é 2r. Portanto o lado do quadrado (vou chamar de s) é
s = 2r.

Passo 3

Fórmula da área do círculo. A área A de um círculo de raio r é dada por
A = \pi r^{2},
onde \pi é a constante aproximadamente igual a 3{,}14159 e r é o raio do círculo. Aqui cada símbolo significa: \pi é o número que relaciona a circunferência com o diâmetro; r é a distância do centro até a borda; r^{2} é o quadrado desse raio.

Passo 4

Fórmula da área do quadrado. A área B de um quadrado de lado s é
B = s^{2}.
Como vimos no Passo 2, s = 2r. Substituindo,
B = (2r)^{2} = 4r^{2}.
Aqui cada símbolo: s é o comprimento do lado do quadrado, e ao elevar ao quadrado obtemos a área.

Passo 5

Agora subtraímos as áreas para obter A - B. Usamos as expressões dos Passos 3 e 4:
A - B = \pi r^{2} - 4r^{2}.
Fatorando r^{2} em evidência (isso significa tirar o fator comum para simplificar),
A - B = r^{2}(\pi - 4).
Esse é o resultado algébrico final da diferença das áreas.

Passo 6

Verificação rápida e comentário prático (para ganhar confiança): se quisermos um número, suponha r=1. Então A=\pi\approx3{,}14 e B=4. A diferença é 3{,}14-4=-0{,}86, que coincide com 1^{2}(\pi-4). Observe que a diferença pode ser negativa se o quadrado for maior que o círculo (o que acontece aqui), e a expressão r^{2}(\pi-4) captura isso corretamente porque \pi-4 é negativo.

Resposta

b) r^{2}(\pi-4)

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