17: (a) Mostre que a função
tem um único ponto de mínimo positivo.
(b) Calcule uma aproximação para este ponto utilizando o método de Newton (calcule 3 iterações a partir de
. Mostre que o método de Newton é convergente para esta escolha de
.)
(c) Sem determinar o valor da solução verifique se o valor determinado no item (b) dista menos que
do ponto de mínimo. Justifique.
(b) Calcule uma aproximação para este ponto utilizando o método de Newton (calcule 3 iterações a partir de
(c) Sem determinar o valor da solução verifique se o valor determinado no item (b) dista menos que
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre a função
:
- (a) Mostrar que
tem um único ponto de mínimo positivo. - (b) Achar uma aproximação desse ponto usando o método de Newton: calcular 3 iterações a partir de
e mostrar que o método é convergente para esse . - (c) Sem determinar a solução exata, verificar se o valor obtido em (b) está a menos de
do ponto de mínimo, justificando.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função
é . - Vamos procurar o ponto de mínimo de
(ou seja, resolver e verificar que é mínimo). - O método pedido é o método de Newton aplicado à equação
, com e 3 iterações.
Passo 2
(a) Identificar e provar existência/unicidade do mínimo positivo.
-
Calculo das derivadas:Explicando:
é a derivada de (que é ) menos a derivada de (que é , logo subtraindo dá ). A segunda derivada soma com . -
Observações úteis:
para todo (pois ). Isso significa que é estritamente convexa em toda a reta real. Em funções convexas, qualquer ponto crítico (onde ) é um mínimo global e, como a convexidade é estrita, esse mínimo é único. -
Mostrar que existe exatamente uma raiz de
e que ela é positiva: Comoé contínua e estritamente crescente ou decrescente? Vamos ver a monotonicidade de : implica que é estritamente crescente. Então, com e quando , existe exatamente um ponto tal que . Pelo que já dissemos, por convexidade estrita esse é o único ponto de mínimo de , e é positivo.
Conclusão do item (a): existe um único ponto de mínimo
e ele satisfaz
com
.
Passo 3
(b) Método de Newton: montar iteração e calcular 3 iterações a partir de
. Mostrar convergência para essa escolha.
-
Preparação: para encontrar o mínimo usamos a equação
. Definimos O método de Newton para resolveré Aqui. Então a iteração de Newton fica -
Primeira iteração
a partir de : (fórmula simplificada:). Numérico: usando , Explicando: fiz a substituição direta e simplifiquei a fração; depois substituípor sua aproximação decimal. -
Segunda iteração
:
calcular, , e aplicar a fórmula.
Aproximações:
Portanto
- Terceira iteração
:
calcular, , :
Assim
(Observação: as aproximações intermediárias de
e dos quocientes foram arredondadas; esse processo dá
com precisão suficiente para nossa finalidade.)
-
Comentário sobre convergência (mostrar que o método converge para
): Defina o mapeamento de NewtonVamos mostrar queé uma contração em (isso garante convergência a partir de qualquer , em particular ). -
Derivada de
: usando cálculo direto, Substituindo, e , obtemos -
Estimativa do módulo em
: para temos e . Assim Calculando numericamente o lado direito dá aproximadamenteComo, é Lipschitz com constante em . -
Mostrar que
: calculando e . Além disso, o único ponto crítico de em é o ponto onde (o mínimo ), e . Assim os valores de em ficam contidos no intervalo entre , todos dentro de . Portanto mapeia em si mesma. -
Conclusão: pelo Teorema do Ponto Fixo de Banach (contração),
tem um único ponto fixo em (que é a raiz de ) e as iterações a partir de qualquer , em particular , convergem para . Logo o método de Newton é convergente para .
-
Passo 4
(c) Verificar sem determinar
se o valor obtido em (b) dista menos que
do ponto de mínimo. Justificativa usando a propriedade de contração.
-
Usamos que
é contração em com constante (ver Passo 3). Para um mapeamento de contração vale a desigualdade (telescópica) porquee também permite a forma com quando usamos apropriadamente. Usamos a forma prática -
Já calculamos numericamente no Passo 3:então(os valores foram obtidos nas iterações do Newton mostradas; podem ser repetidos rapidamente com as fórmulas dadas).
-
Com
obtemos Assim
Conclusão do item (c): sem precisar conhecer
explicitamente, a desigualdade acima garante que a aproximação
obtida em (b) está a menos de
do ponto de mínimo.
Resposta
(a) A função
tem um único ponto de mínimo
, pois
tem uma única raiz positiva e
(convexidade estrita).
(b) Iterações de Newton para
:
.
A partir de :
,
,
.
O método é convergente para porque o mapeamento de Newton
é uma contração em
(isto é,
) e
.
A partir de
O método é convergente para
(c) Usando a constante de contração
e
, tem-se
Portanto
dista menos de
do ponto de mínimo.