Aplicando o Método Iterativo de Gauss-Seidel para resolver o sistema linear
\[4 x_{1}+1 x_{2}-1 x_{3}=3\]
\[2 x_{1}+7 x_{2}+x_{3}=19\]
\[x_{1}-3 x_{2}+12 x_{3}=31\]
podemos afirmar que a solução na terceira iteração, com aproximação inicial
( \(0,0,0\) ), é dada por:
Dica: efetue seus cálculos duas casas decimais
Escolha uma opção:
◯
◯
◯
◯ O método de Gauss-Jacobi não apresenta solução convergente para este sistema.
\[4 x_{1}+1 x_{2}-1 x_{3}=3\]
\[2 x_{1}+7 x_{2}+x_{3}=19\]
\[x_{1}-3 x_{2}+12 x_{3}=31\]
podemos afirmar que a solução na terceira iteração, com aproximação inicial
( \(0,0,0\) ), é dada por:
Dica: efetue seus cálculos duas casas decimais
◯
◯
◯
◯ O método de Gauss-Jacobi não apresenta solução convergente para este sistema.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear (peguei os coeficientes do enunciado):
A aproximação inicial é
. O que se pede é a solução obtida pelo método iterativo de Gauss–Seidel após a terceira iteração (isto é, após aplicar três atualizações sequenciais de
começando em
). A dica diz: efetue seus cálculos com duas casas decimais (vamos arredondar cada componente para duas casas decimais logo após calculá-la e usar essa versão arredondada nas fórmulas seguintes, como normalmente se pede em exercícios práticos).
Passo 2
Escrevo as fórmulas de iteração de Gauss–Seidel isolando cada variável em sua equação (essas são as fórmulas que usaremos em cada passo; aqui explico o que cada símbolo significa):
-
isolado da primeira equação:
(onde
e
são os valores mais recentes disponíveis; no Gauss–Seidel usa-se a versão já atualizada de
e
quando possível)
-
isolado da segunda equação:
-
isolado da terceira equação:
Explicação curta e didática: o método de Gauss–Seidel atualiza as incógnitas uma a uma usando sempre os valores mais recentes. Por exemplo, ao calcular
na iteração
usa-se o
já calculado na mesma iteração
(não o antigo de
), e assim por diante. Isso costuma acelerar a convergência em relação ao método de Jacobi.
Passo 3
Regra de arredondamento que seguirei (conforme a dica): depois de calcular cada nova componente
eu arredondo para duas casas decimais e uso esse valor arredondado nas contas seguintes da mesma iteração. Vou mostrar cada conta e o arredondamento explícito.
Ponto de partida: iteração
(aproximação inicial)
Passo 4
Primeira iteração (iteração
):
- Calculo
:
Arredondado para duas casas:
.
- Calculo
usando o já atualizado:
Arredondado para duas casas:
.
- Calculo
usando e :
Arredondado para duas casas:
.
Resultado da iteração
:
Passo 5
Segunda iteração (iteração
), partindo de
:
- Calculo
:
Arredondado para duas casas:
.
- Calculo
usando e :
Arredondado para duas casas:
.
- Calculo
usando e :
Arredondado para duas casas:
.
Resultado da iteração
:
Passo 6
Terceira iteração (iteração
), partindo de
:
- Calculo
:
Arredondado para duas casas:
.
- Calculo
usando e :
Arredondado para duas casas:
.
- Calculo
usando e :
Arredondado para duas casas:
.
Resultado da iteração
:
Passo 7
Interpretação final e escolha da opção: a solução obtida na terceira iteração (usando arredondamento com duas casas a cada passo) é
. Isso corresponde à segunda opção da lista.