Aplicando o Método Iterativo de Gauss-Seidel para resolver o sistema linear
\[4 x_{1}+1 x_{2}-1 x_{3}=3\]

\[2 x_{1}+7 x_{2}+x_{3}=19\]

\[x_{1}-3 x_{2}+12 x_{3}=31\]
podemos afirmar que a solução na terceira iteração, com aproximação inicial
( \(0,0,0\) ), é dada por:
Dica: efetue seus cálculos duas casas decimais
Escolha uma opção:
(1,02 ; 2,05 ; 3,06)
(1,00 ; 2,00 ; 3,00)
(0,75 ; 2,50 ; 3,15)
◯ O método de Gauss-Jacobi não apresenta solução convergente para este sistema.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear (peguei os coeficientes do enunciado):
4x_{1}+1x_{2}-1x_{3}=3
2x_{1}+7x_{2}+1x_{3}=19
x_{1}-3x_{2}+12x_{3}=31
A aproximação inicial é (0,0,0). O que se pede é a solução obtida pelo método iterativo de Gauss–Seidel após a terceira iteração (isto é, após aplicar três atualizações sequenciais de x_{1},x_{2},x_{3} começando em (0,0,0)). A dica diz: efetue seus cálculos com duas casas decimais (vamos arredondar cada componente para duas casas decimais logo após calculá-la e usar essa versão arredondada nas fórmulas seguintes, como normalmente se pede em exercícios práticos).

Passo 2

Escrevo as fórmulas de iteração de Gauss–Seidel isolando cada variável em sua equação (essas são as fórmulas que usaremos em cada passo; aqui explico o que cada símbolo significa):
  • x_{1} isolado da primeira equação:
x_{1}=\frac{3 - x_{2} + x_{3}}{4}
(onde x_{2} e x_{3} são os valores mais recentes disponíveis; no Gauss–Seidel usa-se a versão já atualizada de x_{1} e x_{2} quando possível)
  • x_{2} isolado da segunda equação:
x_{2}=\frac{19 - 2x_{1} - x_{3}}{7}
  • x_{3} isolado da terceira equação:
x_{3}=\frac{31 - x_{1} + 3x_{2}}{12}
Explicação curta e didática: o método de Gauss–Seidel atualiza as incógnitas uma a uma usando sempre os valores mais recentes. Por exemplo, ao calcular x_{2} na iteração k+1 usa-se o x_{1} já calculado na mesma iteração k+1 (não o antigo de k), e assim por diante. Isso costuma acelerar a convergência em relação ao método de Jacobi.

Passo 3

Regra de arredondamento que seguirei (conforme a dica): depois de calcular cada nova componente x_{i} eu arredondo para duas casas decimais e uso esse valor arredondado nas contas seguintes da mesma iteração. Vou mostrar cada conta e o arredondamento explícito.
Ponto de partida: iteração 0 (aproximação inicial)
(x_{1}^{(0)},x_{2}^{(0)},x_{3}^{(0)})=(0,0,0).

Passo 4

Primeira iteração (iteração 1):
  • Calculo x_{1}^{(1)}:
x_{1}^{(1)}=\frac{3 - x_{2}^{(0)} + x_{3}^{(0)}}{4}=\frac{3-0+0}{4}=\frac{3}{4}=0{,}75.
Arredondado para duas casas: x_{1}^{(1)}=0{,}75.
  • Calculo x_{2}^{(1)} usando o x_{1}^{(1)} já atualizado:
x_{2}^{(1)}=\frac{19 - 2x_{1}^{(1)} - x_{3}^{(0)}}{7}=\frac{19 - 2\cdot 0{,}75 - 0}{7}=\frac{17{,}5}{7}=2{,}5.
Arredondado para duas casas: x_{2}^{(1)}=2{,}50.
  • Calculo x_{3}^{(1)} usando x_{1}^{(1)} e x_{2}^{(1)}:
x_{3}^{(1)}=\frac{31 - x_{1}^{(1)} + 3x_{2}^{(1)}}{12}=\frac{31 -0{,}75 +3\cdot 2{,}50}{12}=\frac{37{,}75}{12}\approx 3{,}1458\ldots
Arredondado para duas casas: x_{3}^{(1)}=3{,}15.
Resultado da iteração 1:
(x_{1}^{(1)},x_{2}^{(1)},x_{3}^{(1)})=(0{,}75,\;2{,}50,\;3{,}15).

Passo 5

Segunda iteração (iteração 2), partindo de (0{,}75,2{,}50,3{,}15):
  • Calculo x_{1}^{(2)}:
x_{1}^{(2)}=\frac{3 - x_{2}^{(1)} + x_{3}^{(1)}}{4}=\frac{3 -2{,}50 +3{,}15}{4}=\frac{3{,}65}{4}=0{,}9125.
Arredondado para duas casas: x_{1}^{(2)}=0{,}91.
  • Calculo x_{2}^{(2)} usando x_{1}^{(2)}=0{,}91 e x_{3}^{(1)}=3{,}15:
x_{2}^{(2)}=\frac{19 - 2\cdot 0{,}91 - 3{,}15}{7}=\frac{19 -1{,}82 -3{,}15}{7}=\frac{14{,}03}{7}\approx 2{,}0042857\ldots
Arredondado para duas casas: x_{2}^{(2)}=2{,}00.
  • Calculo x_{3}^{(2)} usando x_{1}^{(2)}=0{,}91 e x_{2}^{(2)}=2{,}00:
x_{3}^{(2)}=\frac{31 - 0{,}91 + 3\cdot 2{,}00}{12}=\frac{31 -0{,}91 +6}{12}=\frac{36{,}09}{12}=3{,}0075.
Arredondado para duas casas: x_{3}^{(2)}=3{,}01.
Resultado da iteração 2:
(x_{1}^{(2)},x_{2}^{(2)},x_{3}^{(2)})=(0{,}91,\;2{,}00,\;3{,}01).

Passo 6

Terceira iteração (iteração 3), partindo de (0{,}91,2{,}00,3{,}01):
  • Calculo x_{1}^{(3)}:
x_{1}^{(3)}=\frac{3 - x_{2}^{(2)} + x_{3}^{(2)}}{4}=\frac{3 -2{,}00 +3{,}01}{4}=\frac{4{,}01}{4}=1{,}0025.
Arredondado para duas casas: x_{1}^{(3)}=1{,}00.
  • Calculo x_{2}^{(3)} usando x_{1}^{(3)}=1{,}00 e x_{3}^{(2)}=3{,}01:
x_{2}^{(3)}=\frac{19 - 2\cdot 1{,}00 - 3{,}01}{7}=\frac{13{,}99}{7}\approx 1{,}9985714\ldots
Arredondado para duas casas: x_{2}^{(3)}=2{,}00.
  • Calculo x_{3}^{(3)} usando x_{1}^{(3)}=1{,}00 e x_{2}^{(3)}=2{,}00:
x_{3}^{(3)}=\frac{31 - 1{,}00 + 3\cdot 2{,}00}{12}=\frac{31 -1 +6}{12}=\frac{36}{12}=3{,}00.
Arredondado para duas casas: x_{3}^{(3)}=3{,}00.
Resultado da iteração 3:
(x_{1}^{(3)},x_{2}^{(3)},x_{3}^{(3)})=(1{,}00,\;2{,}00,\;3{,}00).

Passo 7

Interpretação final e escolha da opção: a solução obtida na terceira iteração (usando arredondamento com duas casas a cada passo) é (1{,}00;\;2{,}00;\;3{,}00). Isso corresponde à segunda opção da lista.

Resposta

(1{,}00 ; 2{,}00 ; 3{,}00)

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