Seja a equação
. Obtenha a raiz positiva aproximada desta equação pelo Método da Secante, considerando uma precisão de
e uma estimativa inicial de
e
.
Dica: Execute os dois critérios de parada disponíveis e pare quando assim que um deles atingir a convergência.
Escolha uma opção:
◯ 2.71828
◯ 2.52901
◯ 2.61911
◯ 2.97020
e
Dica: Execute os dois critérios de parada disponíveis e pare quando assim que um deles atingir a convergência.
Escolha uma opção:
◯ 2.71828
◯ 2.52901
◯ 2.61911
◯ 2.97020
Passo 1
O enunciado nos dá:
- A função
. - Estimativas iniciais para o método da secante:
e . - Precisão desejada:
. - Deve-se aplicar o Método da Secante e parar assim que qualquer um dos dois critérios de parada atingir a convergência (ou seja, pare quando
ou quando , ao primeiro que ocorrer). - Pergunta final: obter a raiz positiva aproximada e escolher entre as opções fornecidas.
Passo 2
Vou explicar o Método da Secante de modo prático e claro.
-
Ideia rápida: o método da secante usa duas aproximações consecutivas
e e aproxima a curva por uma reta (a secante) que passa pelos pontos e ; a interseção dessa reta com o eixo é a próxima aproximação . -
Fórmula do método (fórmula que usaremos para calcular cada iteração):
Aqui:
-
são as duas últimas aproximações conhecidas; -
são os valores da função nessas aproximações; -
é a nova aproximação obtida pela interseção da secante com o eixo . -
Critérios de parada que vamos aplicar (pare quando qualquer um for satisfeito):
- Critério de diferença entre iterações:
. - Critério residual:
.
- Critério de diferença entre iterações:
Agora vamos aplicar iterativamente, calculando
e as fórmulas numéricas cuidadosamente.
Passo 3
Calcular
nas estimativas iniciais.
Para
:
Para
:
Resumo inicial:
e
Passo 4
Iteração 1 — calcular
pela fórmula da secante.
Substituindo números:
Calcule a fração:
Logo
Agora
. Primeiro
:
Então
Verificações de parada:
Nenhum critério satisfeito → continuar.
Passo 5
Iteração 2 — calcular
usando
e
.
Fórmula:
Substituindo valores (usando
e
):
Calcule passo a passo:
Calcular
aproximadamente:
Verificações:
Ainda não convergiu.
Passo 6
Iteração 3 — calcular
usando
e
.
Substituindo
e
:
Calcular
:
Verificações:
Ainda não satisfez nenhum critério (o residual está próximo, mas maior que
).
Passo 7
Iteração 4 — calcular
usando
e
.
Substituindo
e
:
Agora calcule o residual
. Como
está muito próximo de
, a diferença para
é da ordem
–
, portanto
Verificações:
Como o enunciado pede que paremos assim que um dos dois critérios seja satisfeito, paramos aqui porque o critério residual
foi atingido.
A aproximação obtida é
, que coincide (nos dígitos apresentados) com o número
Resposta
2.71828