Seja a equação f(x)=x-x \ln (x)=0. Obtenha a raiz positiva aproximada desta equação pelo Método da Secante, considerando uma precisão de \varepsilon=10^{-5} e uma estimativa inicial de x_{0}=2
e x_{1}=3.
Dica: Execute os dois critérios de parada disponíveis e pare quando assim que um deles atingir a convergência.
Escolha uma opção:
◯ 2.71828
◯ 2.52901
◯ 2.61911
◯ 2.97020

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • A função \,f(x)=x - x\ln(x)=x(1-\ln x)\,.
  • Estimativas iniciais para o método da secante: \,x_0=2\, e \,x_1=3\,.
  • Precisão desejada: \,\varepsilon=10^{-5}\,.
  • Deve-se aplicar o Método da Secante e parar assim que qualquer um dos dois critérios de parada atingir a convergência (ou seja, pare quando |x_{n+1}-x_n|<\varepsilon ou quando |f(x_{n+1})|<\varepsilon, ao primeiro que ocorrer).
  • Pergunta final: obter a raiz positiva aproximada e escolher entre as opções fornecidas.

Passo 2

Vou explicar o Método da Secante de modo prático e claro.
  • Ideia rápida: o método da secante usa duas aproximações consecutivas \,x_{n-1} e \,x_n e aproxima a curva por uma reta (a secante) que passa pelos pontos \,(x_{n-1},f(x_{n-1})) e (x_n,f(x_n)); a interseção dessa reta com o eixo x é a próxima aproximação \,x_{n+1}.
  • Fórmula do método (fórmula que usaremos para calcular cada iteração):
x_{n+1}=x_n-\dfrac{f(x_n)\,(x_n-x_{n-1})}{f(x_n)-f(x_{n-1})}.
Aqui:
  • x_{n-1},x_n são as duas últimas aproximações conhecidas;
  • f(x_{n-1}),f(x_n) são os valores da função nessas aproximações;
  • x_{n+1} é a nova aproximação obtida pela interseção da secante com o eixo x.
  • Critérios de parada que vamos aplicar (pare quando qualquer um for satisfeito):
    1. Critério de diferença entre iterações: \,|x_{n+1}-x_n|<\varepsilon\,.
    2. Critério residual: \,|f(x_{n+1})|<\varepsilon\,.
Agora vamos aplicar iterativamente, calculando f e as fórmulas numéricas cuidadosamente.

Passo 3

Calcular f nas estimativas iniciais.
f(x)=x(1-\ln x).
Para \,x_0=2\,:
\ln 2 \approx 0{,}6931471805599453,
f(x_0)=2(1-\ln 2)=2(1-0{,}6931471805599453)=2(0{,}3068528194400547)=0{,}6137056388801094.
Para \,x_1=3\,:
\ln 3 \approx 1{,}0986122886681098,
f(x_1)=3(1-\ln 3)=3(1-1{,}0986122886681098)=3(-0{,}0986122886681098)=-0{,}2958368660043294.
Resumo inicial:
\,x_0=2,\; f(x_0)=0{,}6137056388801094\, e \,x_1=3,\; f(x_1)=-0{,}2958368660043294.

Passo 4

Iteração 1 — calcular x_2 pela fórmula da secante.
x_2 = x_1-\dfrac{f(x_1)(x_1-x_0)}{f(x_1)-f(x_0)}.
Substituindo números:
x_2 = 3-\dfrac{(-0{,}2958368660043294)\cdot(3-2)}{-0{,}2958368660043294-0{,}6137056388801094} =3-\dfrac{-0{,}2958368660043294}{-0{,}9095425048844388}.
Calcule a fração:
\dfrac{-0{,}2958368660043294}{-0{,}9095425048844388}=0{,}3252562508844389\\ (\text{aprox.})
Logo
x_2 \approx 3-0{,}3252562508844389=2{,}6747437491155611.
Agora f(x_2). Primeiro \ln x_2:
\ln(2{,}6747437491155611)\approx0{,}983855066\\ (\text{cálculo aproximado por expansão; suficiente para nosso propósito}).áãó
Então
f(x_2)=x_2(1-\ln x_2)\approx 2{,}6747437491155611\cdot(1-0{,}983855066)\approx0{,}0431833\\ (\text{aprox.}).
Verificações de parada:
|x_2-x_1|=|2{,}6747437491155611-3|=0{,}3252562508844389>\varepsilon,
|f(x_2)|\approx0{,}0431833>\varepsilon.
Nenhum critério satisfeito → continuar.

Passo 5

Iteração 2 — calcular x_3 usando x_1=3 e x_2\approx2{,}6747437491155611.
Fórmula:
x_3 = x_2-\dfrac{f(x_2)(x_2-x_1)}{f(x_2)-f(x_1)}.
Substituindo valores (usando f(x_1)=-0{,}2958368660043294 e f(x_2)\approx0{,}0431833):
x_3 \approx 2{,}6747437491155611-\dfrac{0{,}0431833\cdot(2{,}6747437491155611-3)}{0{,}0431833-(-0{,}2958368660043294)}.
Calcule passo a passo:
x_2-x_1=-0{,}3252562508844389,
\text{numerador}=0{,}0431833\cdot(-0{,}3252562508844389)\approx-0{,}014043,
\text{denominador}=0{,}0431833+0{,}2958368660043294\approx0{,}339020166.
\frac{\text{numerador}}{\text{denominador}}\approx-0{,}041441,
x_3\approx 2{,}6747437491155611-(-0{,}041441)=2{,}716184999\\ (\text{aprox. }2{,}716185).
Calcular f(x_3) aproximadamente:
\ln(2{,}716185)\approx0{,}9992282,\quad 1-\ln(2{,}716185)\approx0{,}0007718,
f(x_3)\approx 2{,}716185\cdot0{,}0007718\approx0{,}0020968.
Verificações:
|x_3-x_2|\approx0{,}041441> \varepsilon,
|f(x_3)|\approx0{,}0020968>\varepsilon.
Ainda não convergiu.

Passo 6

Iteração 3 — calcular x_4 usando x_2 e x_3.
x_4 = x_3-\dfrac{f(x_3)(x_3-x_2)}{f(x_3)-f(x_2)}.
Substituindo f(x_2)\approx0{,}0431833 e f(x_3)\approx0{,}0020968:
x_3-x_2\approx0{,}041441,
\text{numerador}=0{,}0020968\cdot0{,}041441\approx8{,}689\times10^{-5},
\text{denominador}=0{,}0020968-0{,}0431833\approx-0{,}0410865,
\frac{\text{numerador}}{\text{denominador}}\approx-0{,}0021163,
x_4\approx 2{,}716185-(-0{,}0021163)=2{,}7183013\\ (\text{aprox.}).
Calcular f(x_4):
x_4\approx2{,}7183013;\quad x_4-e\approx1{,}95\times10^{-5},
\text{logo } f(x_4)\approx -1{,}95\times10^{-5}\\ (\text{aprox.; note o sinal}).
Verificações:
|x_4-x_3|\approx0{,}0021163>\varepsilon,
|f(x_4)|\approx1{,}95\times10^{-5}>\varepsilon.
Ainda não satisfez nenhum critério (o residual está próximo, mas maior que 10^{-5}).

Passo 7

Iteração 4 — calcular x_5 usando x_3 e x_4.
x_5 = x_4-\dfrac{f(x_4)(x_4-x_3)}{f(x_4)-f(x_3)}.
Substituindo f(x_3)\approx0{,}0020968 e f(x_4)\approx-1{,}95\times10^{-5}:
x_4-x_3\approx0{,}0021163,
\text{numerador}=(-1{,}95\times10^{-5})\cdot0{,}0021163\approx-4{,}13\times10^{-8},
\text{denominador}=-1{,}95\times10^{-5}-0{,}0020968\approx-0{,}0021163,
\frac{\text{numerador}}{\text{denominador}}\approx 1{,}9506\times10^{-5},
x_5\approx x_4-\;1{,}9506\times10^{-5}\approx 2{,}7183013-0{,}000019506\approx 2{,}718281793.
Agora calcule o residual f(x_5). Como x_5 está muito próximo de e, a diferença para e é da ordem 10^{-8} 10^{-7}, portanto
|f(x_5)|\approx \mathcal{O}(10^{-8}) < 10^{-5}.
Verificações:
|x_5-x_4|\approx 1{,}9506\times10^{-5} \quad(\text{ainda }>\varepsilon),
|f(x_5)|<10^{-5}.
Como o enunciado pede que paremos assim que um dos dois critérios seja satisfeito, paramos aqui porque o critério residual |f(x_5)|<\varepsilon foi atingido.
A aproximação obtida é \,x_5\approx2{,}718281793\,, que coincide (nos dígitos apresentados) com o número e\approx2{,}718281828\ldots

Resposta

2.71828

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