Considere o sistema de equações lineares:
\left[\begin{array}{lll} 3 & 2 & 0 \\\\ 2 & 4 & 2 \\\\ 0 & 2 & 4 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} x \\\ y \\\ z \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 5 \\\\ 6 \\\\ 7 \end{array}\right]
a)Resolva o sistema aplicando o método de fatoração LU com pivoteamento parcial e escreva as matrizes L, U e Permutação.
b) Por que o pivoteamento parcial é recomendado?

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear A\mathbf{x}=\mathbf{b} com
A=\left[\begin{array}{ccc} 3 & 2 & 0 \\\\ 2 & 4 & 2 \\\\ 0 & 2 & 4 \end{array}\right], \qquad \mathbf{b}=\left[\begin{array}{c} 5 \\\\ 6 \\\\ 7 \end{array}\right], \qquad \mathbf{x}=\left[\begin{array}{c} x\\\ y\\\ z \end{array}\right].
As tarefas são:
a) Resolver o sistema usando fatoração LU com pivoteamento parcial e escrever as matrizes L, U e de permutação P.
b) Explicar por que o pivoteamento parcial é recomendado.

Passo 2

Breve lembrete didático sobre o método LU com pivoteamento parcial (sem pular etapas):
  • Objetivo: escrever P A = L U, onde P é matriz de permutação (resultante de trocas de linhas), L é triangular inferior com uns na diagonal, e U é triangular superior.
  • Procedimento (gaussiano com registro dos fatores):
    1. Em cada passo k (coluna k), entre as linhas k,k+1,\dots,n escolhe-se a linha com maior valor absoluto na coluna k. Se essa linha não for a linha k, troca-se as linhas (isto introduz uma permutação).
    2. Usa-se o pivô (elemento da linha k após possível troca) para eliminar abaixo: para cada linha i>k calcula-se o multiplicador l_{i,k}=\dfrac{a_{i,k}}{a_{k,k}} e faz-se \text{linha}_i \leftarrow \text{linha}_i - l_{i,k}\,\text{linha}_k.
    3. Os l_{i,k} formam as entradas sub-diagonais de L; as entradas restantes após eliminação formam U.
  • Depois de obter P,L,U, resolve-se P\mathbf{b} e faz-se substituição direta L\mathbf{y}=P\mathbf{b} e retro-substituição U\mathbf{x}=\mathbf{y}.

Passo 3

Aplicando ao sistema, passo a passo (peguei os coeficientes da matriz A e do vetor \mathbf{b} do enunciado).
Passo 1 de eliminação (coluna 1, linhas 1…3):
  • Entradas da coluna 1: |3|,\;|2|,\;|0|. O maior é |3| (linha 1), então NÃO há troca. Logo a permutação neste passo é identidade.
  • Pivô inicial u_{11}=3.
  • Calcula-se multiplicador para eliminar elemento em (2,1): l_{21}=\frac{a_{21}}{u_{11}}=\frac{2}{3}.Atualiza-se a linha 2: \text{linha}_2 \leftarrow \text{linha}_2 - l_{21}\,\text{linha}_1.
    Vamos calcular componente a componente (sem pular contas): \text{linha}_1=[3,\;2,\;0],\qquad \text{linha}_2=[2,\;4,\;2].Então \text{linha}_2 - \frac{2}{3}\text{linha}_1 =\Bigl[\,2-\frac{2}{3}\cdot 3,\;4-\frac{2}{3}\cdot 2,\;2-\frac{2}{3}\cdot 0\,\Bigr] =[0,\;4-\tfrac{4}{3},\;2].Calcule 4-\tfrac{4}{3}=\tfrac{12-4}{3}=\tfrac{8}{3}. Logo a nova linha 2 é \bigl[0,\;\tfrac{8}{3},\;2\bigr].
  • Elemento (3,1) já é zero em A, logo l_{31}=0 e linha 3 permanece [0,2,4].

Passo 4

Passo 2 de eliminação (coluna 2, linhas 2…3):
  • Agora consideram-se os pivôs entre as linhas 2 e 3 na coluna 2. Os valores absolutos na coluna 2 (restritos a linhas 2 e 3) são \bigl|\tfrac{8}{3}\bigr| e |2|. Numericamente \tfrac{8}{3}\approx 2{,}666 e |2|=2. O maior é \tfrac{8}{3} (linha 2), então NÃO há troca nesta etapa também.
  • Pivô u_{22}=\dfrac{8}{3}.
  • Multiplicador para eliminar elemento em (3,2): l_{32}=\frac{a_{32}^{(\text{atual})}}{u_{22}}=\frac{2}{8/3}=2\cdot\frac{3}{8}=\frac{3}{4}.
  • Atualiza-se linha 3: \text{linha}_3 \leftarrow \text{linha}_3 - l_{32}\,\text{linha}_2.
    A linha 2 atual é \bigl[0,\tfrac{8}{3},2\bigr]. Calculemos: \text{linha}_3 - \frac{3}{4}\text{linha}_2 =\Bigl[\,0- \frac{3}{4}\cdot 0,\;2-\frac{3}{4}\cdot\frac{8}{3},\;4-\frac{3}{4}\cdot 2\,\Bigr].Calcule o termo do meio: 2-\frac{3}{4}\cdot\frac{8}{3}=2-\frac{8}{4}=2-2=0.Para a terceira componente: 4-\frac{3}{4}\cdot 2=4-\frac{6}{4}=4-\frac{3}{2}=\frac{8-3}{2}=\frac{5}{2}.Então a nova linha 3 é \bigl[0,\;0,\;\tfrac{5}{2}\bigr].

Passo 5

Agora temos a U (matriz triangular superior) formada pelas linhas resultantes após a eliminação, e L com os multiplicadores (e 1 na diagonal). Como NÃO houve nenhuma troca de linha em nenhum passo, a matriz de permutação P é a identidade I.
Escrevendo explicitamente:
L=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\[4pt] \dfrac{2}{3} & 1 & 0\\[6pt] 0 & \dfrac{3}{4} & 1 \end{array}\right], \qquad U=\left[\begin{array}{ccc} 3 & 2 & 0\\[4pt] 0 & \dfrac{8}{3} & 2\\[6pt] 0 & 0 & \dfrac{5}{2} \end{array}\right], \qquad P=I=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 6

Resolver o sistema usando P A = L U. Como P=I, temos A=LU. Procedimento:
  1. Calcular \mathbf{y} tal que L\mathbf{y}=P\mathbf{b}=\mathbf{b} (substituição direta).
  2. Calcular \mathbf{x} tal que U\mathbf{x}=\mathbf{y} (retro-substituição).
Fase direta L\mathbf{y}=\mathbf{b}. Escrevendo as equações (linha a linha):
  • Primeira linha: 1\cdot y_1 = 5 então y_1=5.
  • Segunda linha: \dfrac{2}{3}y_1 + 1\cdot y_2 = 6. Substituindo y_1: y_2 = 6 - \frac{2}{3}\cdot 5 = 6 - \frac{10}{3} = \frac{18-10}{3}=\frac{8}{3}.
  • Terceira linha: 0\cdot y_1 + \dfrac{3}{4}y_2 + 1\cdot y_3 = 7. Substituindo y_2: y_3 = 7 - \frac{3}{4}\cdot \frac{8}{3} = 7 - \frac{8}{4}=7-2=5.
Portanto \mathbf{y}=\left[\begin{smallmatrix}5\\[2pt]\tfrac{8}{3}\\[2pt]5\end{smallmatrix}\right].
Fase retro-substituição U\mathbf{x}=\mathbf{y}. Escrevendo por linhas de baixo para cima:
  • Terceira linha: \dfrac{5}{2} z = y_3 = 5. Logo z=\frac{5}{5/2}=5\cdot\frac{2}{5}=2.
  • Segunda linha: \dfrac{8}{3}y + 2 z = y_2 = \dfrac{8}{3}. Substituindo z=2: \frac{8}{3}y + 2\cdot 2 = \frac{8}{3} \quad\Rightarrow\quad \frac{8}{3}y +4 = \frac{8}{3} \quad\Rightarrow\quad \frac{8}{3}y = \frac{8}{3}-4 = -\frac{4}{3}.Então y=\frac{-4/3}{8/3} = -\frac{4}{3}\cdot\frac{3}{8}=-\frac{4}{8}=-\frac{1}{2}.
  • Primeira linha: 3x + 2y + 0\cdot z = y_1 =5. Substituindo y=-\tfrac{1}{2}: 3x + 2\left(-\frac{1}{2}\right)=5 \quad\Rightarrow\quad 3x -1 =5 \quad\Rightarrow\quad 3x =6 \quad\Rightarrow\quad x=2.
Portanto a solução é \mathbf{x}=\left[\begin{smallmatrix}2\\[2pt]-\tfrac{1}{2}\\[2pt]2\end{smallmatrix}\right].]

Passo 7

Resposta didática para (b): por que o pivoteamento parcial é recomendado?
  • Evitar divisão por pivô muito pequeno: se o pivô a_{k,k} for muito pequeno (ou zero), o multiplicador l_{i,k}=a_{i,k}/a_{k,k} fica enorme (ou indefinido), amplificando erros numéricos e provocando cancelamento. Trocar linhas e escolher na coluna o elemento de maior valor absoluto garante que o pivô seja “grande o suficiente” entre as opções, reduzindo esses problemas.
  • Melhor estabilidade numérica: pivoteamento parcial reduz erro de arredondamento na eliminação gaussiana e torna a decomposição mais estável em prática (mesmo quando a matriz é teórica não singular).
  • Existência de fatoração: algumas matrizes não admitem fatoração A=LU sem permutações (ou seja, requerem trocas de linha para que a eliminação prossiga sem dividir por zero). O formato geral seguro é P A = L U.
  • Em resumo: pivoteamento parcial é uma medida simples que previne divisões por números pequenos e melhora a precisão em aritmética com precisão finita (computadores). Por isso é a escolha habitual em implementações práticas (por exemplo nas rotinas LU de bibliotecas numéricas).

Resposta

a)
L=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\[4pt] \dfrac{2}{3} & 1 & 0\\[6pt] 0 & \dfrac{3}{4} & 1 \end{array}\right],\qquad U=\left[\begin{array}{ccc} 3 & 2 & 0\\[4pt] 0 & \dfrac{8}{3} & 2\\[6pt] 0 & 0 & \dfrac{5}{2} \end{array}\right],\qquad P=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Solução do sistema: \displaystyle \mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}2\\[2pt]-\tfrac{1}{2}\\[2pt]2\end{array}\right].
b) O pivoteamento parcial é recomendado para evitar divisões por pivôs pequenos ou nulos e para reduzir erros de arredondamento: escolher, em cada coluna, o maior elemento absoluto como pivô torna a eliminação numericamente mais estável e garante que a fatoração P A = L U exista de forma segura em muitos casos práticos.]

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