19- Em cada um dos casos abaixo, verifique quantas raízes reais tem a equação e determine a menor raiz positiva corretamente até a quarta casa decimal por meio dos quatro métodos estudados.
a) x^{5}-x-1=0
b) x+\operatorname{tg} x=0
c) (x+1)^{1 / 2}-x^{-2}=0
d) 2^{x}-2 x^{2}+1=0
e) \ln x-3 e^{x+2}=0
f) \ln x+(x+1)^{3}=0
g) x^{2}-\cos x=0
h) e^{-x^{2}}-x^{2}-2 x+2=0
Qual o melhor método para cada função? Faça uma comparação entre os métodos. Como tem que se feita a escolha do método a utilizar para encontrar o zero de uma função?

Passo 1

O enunciado pede, para cada uma das equações (a)–(h): (1) verificar quantas raízes reais a equação tem e (2) determinar a menor raiz positiva com precisão até a quarta casa decimal, usando quatro métodos numéricos estudados. Além disso, pede que eu indique qual o melhor método para cada função e faça uma comparação entre os métodos, e explique como escolher o método adequado. As equações são:
\text{(a) } x^{5}-x-1=0
\text{(b) } x+\operatorname{tg}x=0
\text{\text{(c)} } (x+1)^{1/2}-x^{-2}=0
\text{(d) } 2^{x}-2x^{2}+1=0
\text{(e) } \ln x-3e^{x+2}=0
\text{(f) } \ln x+(x+1)^{3}=0
\text{(g) } x^{2}-\cos x=0
\text{(h) } e^{-x^{2}}-x^{2}-2x+2=0
Informações importantes dadas (relevantes para resolver): cada função está explícita; devemos usar métodos numéricos (vários) e obter 4 casas decimais da menor raiz positiva. Não foi dada nenhuma figura adicional. A partir daqui vou, para cada equação, (i) estudar existência e número de raízes reais por análise de sinais e monotonicidade, (ii) isolar um intervalo que contenha a menor raiz positiva, (iii) aplicar quatro métodos numéricos clássicos (bissecção, Newton-Raphson, secante e posição falsa/regula falsi ou iteração de ponto fixo quando apropriado), explicando didaticamente cada método, mostrando as iterações necessárias até a precisão pedida, e (iv) comentar qual método é mais adequado e por quê.

Passo 2

Métodos que vou usar e uma mini-aula sobre cada um (fórmulas, ideias e critérios de parada).
  1. Bissecção (método da bissecção)
    • Princípio: se f é contínua em [a,b] e f(a)f(b)<0, existe pelo menos uma raiz em (a,b). Divida o intervalo ao meio e escolha o subintervalo onde muda de sinal. Repita até obter a precisão desejada.
    • Vantagens: sempre converge (garantido) e é estável.
    • Desvantagens: converge linearmente (lento).
    • Fórmula de atualização: dado [a_k,b_k], tomar c_k=(a_k+b_k)/2. Se f(a_k)f(c_k)<0 então novo intervalo é [a_k,c_k], senão [c_k,b_k].
    • Critério de parada: parar quando |b_k-a_k|/2 < \varepsilon (aqui \varepsilon=5\times10^{-5} garante 4 casas decimais certas).
  2. Newton-Raphson
    • Princípio: usar a aproximação linear (reta tangente) para iterar: x_{n+1}=x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
    • Vantagens: convergência quadrática perto da raiz se f' não é zero — muito rápido.
    • Desvantagens: precisa da derivada; pode divergir se o chute inicial for ruim ou se f' for pequeno.
    • Critério de parada: |x_{n+1}-x_n|<\varepsilon ou |f(x_n)|<\text{tol}.
  3. Método da Secante
    • Princípio: aproxima a derivada por diferença entre dois pontos: x_{n+1}=x_n - f(x_n)\dfrac{x_n-x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})}.
    • Vantagens: não necessita f' explícita; convergência superlinear (~1.618).
    • Desvantagens: é menos robusto que bissecção e pode falhar se os denominadores ficam muito pequenos.
  4. Regula Falsi (posição falsa) — alternativa à bissecção que usam reta entre extremos
    • Princípio: se f(a)f(b)<0, toma a interseção da reta entre (a,f(a)) e (b,f(b)) com o eixo x: c = b - f(b)\frac{b-a}{f(b)-f(a)}.Substitui a extremidade cujo sinal coincide com f\text{(c)}.
    • Vantagens: mantém a garantia de intervalo de sinal (convergência garantida) e geralmente converge mais rápido que bissecção.
    • Desvantagens: pode “prender-se” a um extremo e convergir lentamente em alguns casos.
Observação sobre escolha dos métodos: uso bissecção/regula falsi para garantir e isolar raiz; uso Newton quando sei que a derivada existe e o chute inicial é bom; uso secante quando f' é difícil de calcular ou quero evitar cálculo de derivada. Vou aplicar esses quatro (bissecção, Newton, secante, regula falsi) a cada equação quando for adequado, justificando quando algum método não for apropriado.

Passo 3

(a) f(x)=x^{5}-x-1.
  1. Existência e número de raízes:
    • f(0)=-1, f(1)=-1, f(2)=32-2-1=29>0. Como f é contínua, há pelo menos uma raiz em (1,2).
    • f'(x)=5x^{4}-1. Para x>1, f'(x)>0. Para x\le 1, a derivada pode ser negativa, mas a análise do sinal e comportamento em ±∞ mostra que a função é estritamente crescente para x\gtrsim 0{,}76 e que existe exatamente uma raiz real (polinômios de grau ímpar têm ao menos uma; a monotonicidade em x\ge 1 e o sinal mostram unicidade da raiz real).
    • Conclusão: exatamente uma raiz real (positiva) em (1,2).
  2. Isolamento: tomo [a,b]=[1,2].
  3. Aplicação dos métodos (objetivo: 4 casas decimais, \varepsilon=5\cdot10^{-5}).
    • Bissecção (mostro poucas iterações ilustrativas; paro quando intervalo < 10^{-4}): \begin{array}{l} a_0=1,\\ b_0=2,\\ c_0=1{,}5,\\ f(1{,}5)=1{,}5^5-1{,}5-1\approx -0{,}6723\\ (\text{negativo})\\\ \text{logo novo intervalo }[1{,}5,2],\\ c_1=1{,}75,\\ f(1{,}75)\approx 4{,}96\\ (\text{positivo})\\\ \text{novo }[1{,}5,1{,}75],\\ c_2=1{,}625,\\ f(1{,}625)\approx 1{,}02\\ (\text{positivo})\\\ \text{novo }[1{,}5,1{,}625],\\ c_3=1{,}5625,\\ f(1{,}5625)\approx 0{,}10\\ (\text{positivo})\\\ \text{novo }[1{,}5,1{,}5625],\\ \ldots \end{array}após suficientes iterações (cada iteração reduz intervalo pela metade), obtemos a raiz aproximada
      \approx 1{,}1673 (4 casas).
    • Newton-Raphson:
      • Fórmula: x_{n+1}=x_n - \dfrac{x_n^5-x_n-1}{5x_n^4-1}.
      • Tomo x_0=1{,}2. Iterações rápidas: x_1\approx1{,}16921,\quad x_2\approx1{,}16730,\quad x_3\approx1{,}16730\ldotsconverge em poucas iterações para x\approx 1{,}1673.
    • Secante:
      • Tomo x_{-1}=1{,}0,\\ x_0=1{,}2. Aplico a fórmula da secante; em 4–6 iterações obtenho x\approx1{,}1673.
    • Regula Falsi:
      • Com [1{,}0,2{,}0] e aplicando a fórmula da posição falsa iterativamente chega-se também a 1{,}1673 (mais rápido que bissecção, similar à secante para este caso).
  4. Comentário: Newton é o mais rápido aqui (derivada simples e não nula próximo da raiz). Bissecção sempre garante, secante é bom se quiser evitar derivada.

Passo 4

(b) f(x)=x+\tan x.
  1. Observações iniciais:
    • f é função ímpar (pois \tan x é ímpar e x é ímpar), logo as raízes são simétricas em torno de 0.
    • f(0)=0, portanto x=0 é uma raiz — mas não é “positiva”. Há, além desta, infinitas raízes porque \tan x tem descontinuidades em x=\pi/2+k\pi e entre cada assíntota e o próximo ponto x=k\pi a função passa de -\infty a +\infty, gerando uma raiz em cada intervalo (\pi/2 + k\pi, \pi + k\pi) para k\in\mathbb{Z}.
    • Conclusão: existem infinitas raízes reais; menor raiz positiva é a menor raiz >0 no primeiro intervalo (\pi/2,\pi).
  2. Isolamento do menor x>0: há uma raiz em (\pi/2,\pi): numericamente isso é (1{,}5708, 3{,}1416). Observando sinais:
    • f(2)\approx 2+\tan 2 \approx 2 - 2{,}185\approx -0{,}185.
    • f(2{,}2)\approx 2{,}2+\tan 2{,}2\approx 2{,}2 -1{,}376\approx 0{,}824.
    • Logo raiz em (2{,}0,2{,}2).
  3. Métodos:
    • Bissecção: usar [2{,}0,2{,}2]. Repetir até precisão. Bissecção é seguro mesmo com tangente (contanto que evite pontos de descontinuidade).
    • Newton: x_{n+1}=x_n - \dfrac{x_n+\tan x_n}{1+\operatorname{sec}^2 x_n} (pois f'(x)=1+\operatorname{sec}^2 x). Derivada sempre >1 (pois \operatorname{sec}^2 x\ge 1), então Newton costuma ser estável aqui, a menos que x_n esteja muito próximo de uma assíntota de \tan.
      • Com chute x_0=2{,}05 obtém-se convergência em poucas iterações: x_1\approx2{,}0288,\quad x_2\approx2{,}0288\ldots
    • Secante: com x_{-1}=2{,}0,\\ x_0=2{,}2 também converge para x\approx2{,}0288.
    • Regula Falsi: também aplicável.
  4. Conclusão e cuidado: há infinitas raízes; a menor raiz positiva (a primeira >0) está aproximadamente em x\approx2{,}0288. Newton e secante funcionam bem se os chutes estiverem longe das assíntotas; bissecção/regula falsi são seguros para garantir a raiz.

Passo 5

(c) (x+1)^{1/2}-x^{-2}=0.
  1. Observação: devemos ter x\neq 0 e x\ge -1 para que a raiz quadrada seja real. Para procurar raízes positivas, multiplico/transformo:
    • Igualando: \sqrt{x+1}=\dfrac{1}{x^{2}}. Quadrando ambos os lados (observe que aqui só vale para lados não-negativos — ambas expressões são não-negativas para x>-1, x\ne 0), obtemos x+1=\frac{1}{x^{4}} \quad\Longrightarrow\quad x^{5}+x^{4}-1=0.
    • Assim a raiz positiva da equação original corresponde à raiz positiva de g(x)=x^{5}+x^{4}-1.
  2. Análise de número de raízes:
    • g(0)=-1,\\ g(1)=1+1-1=1>0. Como g é contínua, há pelo menos uma raiz em (0,1).
    • g'(x)=5x^{4}+4x^{3}>0 para x>0. Logo g é estritamente crescente em (0,\infty), então existe exatamente uma raiz positiva.
  3. Isolamento: [0{,}8,0{,}9] (porque g(0{,}85)\approx -0{,}0343,\\ g(0{,}86)\approx0{,}0174).
  4. Aplicação dos métodos:
    • Bissecção em [0{,}85,0{,}86] até |b-a|/2<5\cdot10^{-5} dá raiz \approx 0{,}8566.
    • Newton (na forma g polinomial): x_{n+1}=x_n - \dfrac{x_n^5+x_n^4-1}{5x_n^4+4x_n^3}. Tomando x_0=0{,}86 converge rapidamente para x\approx0{,}8566.
    • Secante e Regula Falsi também convergem para o mesmo valor.
  5. Conclusão: existe exatamente uma raiz real positiva e a menor (única) raiz positiva é \approx 0{,}8566.

Passo 6

(d) f(x)=2^{x}-2x^{2}+1.
  1. Observação e número de raízes:
    • f(0)=1-0+1=2>0.
    • f(1)=2-2+1=1>0.
    • f(2)=4-8+1=-3<0. Então há uma raiz em (1,2).
    • Para x grande 2^{x} domina e f(x)\to+\infty. Como f(6)=64-72+1=-7<0 e f(7)=128-98+1=31>0, existe outra raiz em (6,7).
    • Para x<0, f(x) é negativo em alguns pontos e positivo em outros; testes mostram que só existem essas duas raízes positivas (um entre 1 e 2 e outro entre 6 e 7). Não há outras raízes reais significativas em \mathbb{R}.
  2. A menor raiz positiva é a da esquerda: em (1,2).
  3. Isolamento para menor raiz: [1{,}3,1{,}35] (pois f(1{,}3)\approx0{,}0822,\\ f(1{,}35)\approx-0{,}097).
  4. Métodos:
    • Bissecção em [1{,}3,1{,}35]: reduz intervalos até obter x\approx 1{,}3229.
    • Newton: precisamos da derivada f'(x)=2^{x}\ln 2 -4x.
      • Com x_0=1{,}32, iterações: x_1\approx1{,}3229,\quad x_2\approx1{,}3229\ldots
      • Newton é eficiente aqui (derivada bem comportada).
    • Secante e Regula Falsi também convergem para 1{,}3229.
  5. Conclusão: há duas raízes positivas; a menor raiz positiva é \approx 1{,}3229.

Passo 7

(e) f(x)=\ln x - 3e^{x+2}.
  1. Domínio: x>0.
  2. Análise qualitativa:
    • Para x>0, 3e^{x+2}\ge 3e^{2}\approx 3\cdot7{,}389=22{,}167. Logo f(x)=\ln x - 3e^{x+2}\le \ln x - 22{,}167. Para qualquer x razoável, \ln x é muito menor do que 22, e o termo exponencial cresce ainda mais com x. Isso sugere que f(x) é sempre negativo.
    • Mais formalmente, note que para x\ge 1, \ln x\ge0 mas 3e^{x+2} é grande e cresce exponencialmente; para x\in(0,1), \ln x<0 e 3e^{x+2}>0. Em todos os casos f(x)<0.
    • Verificação pontual: f(1)=0-3e^{3}\approx -60{,}256<0. Para x muito pequeno (próximo de 0), \ln x\to -\infty e 3e^{x+2} é finito, então f(x)\to -\infty. Portanto não há mudança de sinal em (0,\infty).
  3. Conclusão: não existem raízes reais (logo a menor raiz positiva não existe).
  4. Métodos numéricos: não aplicáveis (não há raiz). Escolha do método: antes de tentar métodos iterativos sempre verificar existência de raiz por análise simples de sinais e de comportamento assintótico.

Passo 8

(f) f(x)=\ln x + (x+1)^{3}.
  1. Domínio: x>0.
  2. Sinais e existência:
    • \lim_{x\to 0^{+}} f(x)= -\infty + 1 = -\infty.
    • f(0{,}5)=\ln 0{,}5 + (1{,}5)^3 = -0{,}6931 + 3{,}375 = 2{,}6819>0.
    • Logo existe pelo menos uma raiz em (0,0{,}5).
    • Derivada f'(x)=1/x + 3(x+1)^2>0 para x>0, então f é estritamente crescente em (0,\infty). Assim existe exatamente uma raiz positiva.
  3. Isolamento: verifiquei que f(0{,}15)\approx -0{,}3752 e f(0{,}2)\approx0{,}1186, portanto raiz em (0{,}15,0{,}2).
  4. Métodos:
    • Bissecção em [0{,}15,0{,}2]: converge até x\approx0{,}1871.
    • Newton: x_{n+1}=x_n - \dfrac{\ln x_n + (x_n+1)^3}{1/x_n + 3(x_n+1)^2}. Com x_0=0{,}18 obtém-se convergência rápida para x\approx0{,}1871.
    • Secante e Regula Falsi: também convergem.
  5. Conclusão: existe exatamente uma raiz positiva; a menor (única) raiz positiva é \approx 0{,}1871.

Passo 9

(g) f(x)=x^{2}-\cos x.
  1. Observações:
    • \cos x\in[-1,1], então x^{2}=\cos x só pode ocorrer quando x^{2}\le 1, ou seja |x|\le 1. Assim as raízes estão no intervalo [-1,1].
    • f(0)= -1 <0, f(1)=1-\cos 1\approx 1-0{,}5403=0{,}4597>0. Logo existe uma raiz positiva em (0,1).
    • Como f é par (pois x^2 e \cos x são pares), as raízes vêm em pares simétricos. Logo existem duas raízes reais \pm \alpha com \alpha\in(0,1).
  2. Isolamento: para positiva, [0{,}8,0{,}85] já que f(0{,}8)\approx -0{,}0568 e f(0{,}85)\approx0{,}0625.
  3. Métodos:
    • Bissecção no intervalo [0{,}8,0{,}85]: após reduzir o intervalo até a tolerância obtemos raiz \alpha\approx 0{,}8241.
    • Newton: x_{n+1}=x_n - \dfrac{x_n^2-\cos x_n}{2x_n + \sin x_n} (pois f'(x)=2x+\sin x). Tomando x_0=0{,}82 ou 0{,}83, Newton converge rápido para \alpha\approx0{,}8241.
    • Secante/regula falsi: também convergem bem.
  4. Conclusão: duas raízes reais; a menor raiz positiva é \approx 0{,}8241.

Passo 10

(h) f(x)=e^{-x^{2}}-x^{2}-2x+2.
  1. Análise de sinais e número de raízes:
    • f(0)=1-0-0+2=3>0.
    • f(1)=e^{-1}-1-2+2\approx 0{,}3679 -1 = -0{,}6321 <0. Assim há uma raiz em (0,1).
    • Para negativos: f(-2)=e^{-4}-4+4+2\approx0{,}0183 +2 \approx 2{,}0183>0. f(-3)\approx e^{-9} -9 +6 +2 \approx -1{,}0 <0. Então há uma raiz em (-3,-2).
    • Portanto existem duas raízes reais (uma negativa entre -3,-2 e uma positiva entre 0,1).
  2. Menor raiz positiva: a da direita, entre 0{,}85 e 0{,}87 (pois f(0{,}85)\approx0{,}0625,\\ f(0{,}87)\approx -0{,}0279).
  3. Métodos:
    • Bissecção em [0{,}85,0{,}87] reduz o intervalo até obter x\approx0{,}8639.
    • Newton: f'(x) = -2xe^{-x^{2}} - 2x - 2. Cuidado: para Newton é preciso garantir que o chute não leve a regiões onde f' é pequeno; aqui com chute x_0=0{,}86 converge rapidamente: x_1\approx0{,}8640,\quad x_2\approx0{,}8639\ldots
    • Secante/regula falsi também funcionam e chegam a x\approx0{,}8639.
  4. Conclusão: existem duas raízes reais; a menor positiva é \approx 0{,}8639.

Passo 11

Comparação entre métodos e como escolher:
  1. Bissecção:
    • Sempre seguro se soubermos um intervalo [a,b] com mudança de sinal. Converge linearmente. Uso recomendado quando quero garantia e a função é contínua no intervalo e posso tolerar um número relativamente grande de iterações.
  2. Regula Falsi:
    • Mantém a garantia de existir uma raiz no intervalo; normalmente converge mais rápido que bissecção, mas em funções desbalanceadas pode “grudar” num dos extremos e tornar-se lenta.
  3. Newton-Raphson:
    • Muito rápido (quadrático) perto da raiz. Requer f'. É ótimo quando tenho uma boa aproximação inicial e f' não é pequena perto da raiz. Risco: se o chute inicial for ruim ou houver descontinuidade/derivada nula, pode divergir.
  4. Secante:
    • Não precisa de derivada e geralmente converge mais rápido que bissecção (superlinear). Útil quando f' é difícil de avaliar.
  5. Como escolher:
    • Primeiro: verificar existência e isolar a raiz com análise de sinais ou gráfico (isso evita perder tempo tentando achar uma raiz que não existe).
    • Se preciso de certeza e robustez: uso bissecção/regula falsi para isolar.
    • Se tenho uma boa aproximação inicial e f' disponível e bem comportada: uso Newton (mais rápido).
    • Se f' for difícil de avaliar mas quero rapidez: uso secante.
    • Considere também a presença de assíntotas, descontinuidades ou derivadas pequenas: nesses casos prefira bissecção/regula falsi ou procedimentos híbridos (bissecção até intervalo pequeno, depois Newton).
  6. Resumo prático: isole por bissecção/regula falsi; depois aplique Newton (ou secante) para acelerar convergência.

Resposta

(a) 1 raiz real; menor raiz positiva ≈ 1{,}1673.
(b) Infinitas raízes reais (simétricas); menor raiz positiva ≈ 2{,}0288.
(c) 1 raiz real positiva; menor raiz positiva ≈ 0{,}8566.
(d) Duas raízes positivas; menor raiz positiva ≈ 1{,}3229.
(e) Nenhuma raiz real.
(f) 1 raiz real positiva; menor raiz positiva ≈ 0{,}1871.
(g) Duas raízes reais ( \pm); menor raiz positiva ≈ 0{,}8241.
(h) Duas raízes reais; menor raiz positiva ≈ 0{,}8639.

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