19- Em cada um dos casos abaixo, verifique quantas raízes reais tem a equação e determine a menor raiz positiva corretamente até a quarta casa decimal por meio dos quatro métodos estudados.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Qual o melhor método para cada função? Faça uma comparação entre os métodos. Como tem que se feita a escolha do método a utilizar para encontrar o zero de uma função?
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Passo 1
O enunciado pede, para cada uma das equações (a)–(h): (1) verificar quantas raízes reais a equação tem e (2) determinar a menor raiz positiva com precisão até a quarta casa decimal, usando quatro métodos numéricos estudados. Além disso, pede que eu indique qual o melhor método para cada função e faça uma comparação entre os métodos, e explique como escolher o método adequado. As equações são:
Informações importantes dadas (relevantes para resolver): cada função está explícita; devemos usar métodos numéricos (vários) e obter 4 casas decimais da menor raiz positiva. Não foi dada nenhuma figura adicional. A partir daqui vou, para cada equação, (i) estudar existência e número de raízes reais por análise de sinais e monotonicidade, (ii) isolar um intervalo que contenha a menor raiz positiva, (iii) aplicar quatro métodos numéricos clássicos (bissecção, Newton-Raphson, secante e posição falsa/regula falsi ou iteração de ponto fixo quando apropriado), explicando didaticamente cada método, mostrando as iterações necessárias até a precisão pedida, e (iv) comentar qual método é mais adequado e por quê.
Passo 2
Métodos que vou usar e uma mini-aula sobre cada um (fórmulas, ideias e critérios de parada).
-
Bissecção (método da bissecção)
- Princípio: se
é contínua em e , existe pelo menos uma raiz em . Divida o intervalo ao meio e escolha o subintervalo onde muda de sinal. Repita até obter a precisão desejada. - Vantagens: sempre converge (garantido) e é estável.
- Desvantagens: converge linearmente (lento).
- Fórmula de atualização: dado
, tomar . Se então novo intervalo é , senão . - Critério de parada: parar quando
(aqui garante 4 casas decimais certas).
- Princípio: se
-
Newton-Raphson
- Princípio: usar a aproximação linear (reta tangente) para iterar:
. - Vantagens: convergência quadrática perto da raiz se
não é zero — muito rápido. - Desvantagens: precisa da derivada; pode divergir se o chute inicial for ruim ou se
for pequeno. - Critério de parada:
ou .
- Princípio: usar a aproximação linear (reta tangente) para iterar:
-
Método da Secante
- Princípio: aproxima a derivada por diferença entre dois pontos:
. - Vantagens: não necessita
explícita; convergência superlinear (~1.618). - Desvantagens: é menos robusto que bissecção e pode falhar se os denominadores ficam muito pequenos.
- Princípio: aproxima a derivada por diferença entre dois pontos:
-
Regula Falsi (posição falsa) — alternativa à bissecção que usam reta entre extremos
- Princípio: se
, toma a interseção da reta entre e com o eixo : Substitui a extremidade cujo sinal coincide com . - Vantagens: mantém a garantia de intervalo de sinal (convergência garantida) e geralmente converge mais rápido que bissecção.
- Desvantagens: pode “prender-se” a um extremo e convergir lentamente em alguns casos.
- Princípio: se
Observação sobre escolha dos métodos: uso bissecção/regula falsi para garantir e isolar raiz; uso Newton quando sei que a derivada existe e o chute inicial é bom; uso secante quando
é difícil de calcular ou quero evitar cálculo de derivada. Vou aplicar esses quatro (bissecção, Newton, secante, regula falsi) a cada equação quando for adequado, justificando quando algum método não for apropriado.
Passo 3
(a)
.
- Existência e número de raízes:
-
, , . Como é contínua, há pelo menos uma raiz em . -
. Para , . Para , a derivada pode ser negativa, mas a análise do sinal e comportamento em ±∞ mostra que a função é estritamente crescente para e que existe exatamente uma raiz real (polinômios de grau ímpar têm ao menos uma; a monotonicidade em e o sinal mostram unicidade da raiz real). - Conclusão: exatamente uma raiz real (positiva) em
.
-
- Isolamento: tomo
. - Aplicação dos métodos (objetivo: 4 casas decimais,
). - Bissecção (mostro poucas iterações ilustrativas; paro quando intervalo <
): após suficientes iterações (cada iteração reduz intervalo pela metade), obtemos a raiz aproximada
(4 casas). - Newton-Raphson:
- Fórmula:
. - Tomo
. Iterações rápidas: converge em poucas iterações para .
- Fórmula:
- Secante:
- Tomo
. Aplico a fórmula da secante; em 4–6 iterações obtenho .
- Tomo
- Regula Falsi:
- Com
e aplicando a fórmula da posição falsa iterativamente chega-se também a (mais rápido que bissecção, similar à secante para este caso).
- Com
- Bissecção (mostro poucas iterações ilustrativas; paro quando intervalo <
- Comentário: Newton é o mais rápido aqui (derivada simples e não nula próximo da raiz). Bissecção sempre garante, secante é bom se quiser evitar derivada.
Passo 4
(b)
.
- Observações iniciais:
-
é função ímpar (pois é ímpar e é ímpar), logo as raízes são simétricas em torno de 0. -
, portanto é uma raiz — mas não é “positiva”. Há, além desta, infinitas raízes porque tem descontinuidades em e entre cada assíntota e o próximo ponto a função passa de a , gerando uma raiz em cada intervalo para . - Conclusão: existem infinitas raízes reais; menor raiz positiva é a menor raiz
no primeiro intervalo .
-
- Isolamento do menor
: há uma raiz em : numericamente isso é . Observando sinais: -
. -
. - Logo raiz em
.
-
- Métodos:
- Bissecção: usar
. Repetir até precisão. Bissecção é seguro mesmo com tangente (contanto que evite pontos de descontinuidade). - Newton:
(pois ). Derivada sempre (pois ), então Newton costuma ser estável aqui, a menos que esteja muito próximo de uma assíntota de . - Com chute
obtém-se convergência em poucas iterações:
- Com chute
- Secante: com
também converge para . - Regula Falsi: também aplicável.
- Bissecção: usar
- Conclusão e cuidado: há infinitas raízes; a menor raiz positiva (a primeira
) está aproximadamente em . Newton e secante funcionam bem se os chutes estiverem longe das assíntotas; bissecção/regula falsi são seguros para garantir a raiz.
Passo 5
(c)
.
- Observação: devemos ter
e para que a raiz quadrada seja real. Para procurar raízes positivas, multiplico/transformo: - Igualando:
. Quadrando ambos os lados (observe que aqui só vale para lados não-negativos — ambas expressões são não-negativas para , ), obtemos - Assim a raiz positiva da equação original corresponde à raiz positiva de
.
- Igualando:
- Análise de número de raízes:
-
. Como é contínua, há pelo menos uma raiz em . -
para . Logo é estritamente crescente em , então existe exatamente uma raiz positiva.
-
- Isolamento:
(porque ). - Aplicação dos métodos:
- Bissecção em
até dá raiz . - Newton (na forma
polinomial): . Tomando converge rapidamente para . - Secante e Regula Falsi também convergem para o mesmo valor.
- Bissecção em
- Conclusão: existe exatamente uma raiz real positiva e a menor (única) raiz positiva é
.
Passo 6
(d)
.
- Observação e número de raízes:
-
. -
. -
. Então há uma raiz em . - Para
grande domina e . Como e , existe outra raiz em . - Para
, é negativo em alguns pontos e positivo em outros; testes mostram que só existem essas duas raízes positivas (um entre e e outro entre e ). Não há outras raízes reais significativas em .
-
- A menor raiz positiva é a da esquerda: em
. - Isolamento para menor raiz:
(pois ). - Métodos:
- Bissecção em
: reduz intervalos até obter . - Newton: precisamos da derivada
. - Com
, iterações: - Newton é eficiente aqui (derivada bem comportada).
- Com
- Secante e Regula Falsi também convergem para
.
- Bissecção em
- Conclusão: há duas raízes positivas; a menor raiz positiva é
.
Passo 7
(e)
.
- Domínio:
. - Análise qualitativa:
- Para
, . Logo . Para qualquer razoável, é muito menor do que , e o termo exponencial cresce ainda mais com . Isso sugere que é sempre negativo. - Mais formalmente, note que para
, mas é grande e cresce exponencialmente; para , e . Em todos os casos . - Verificação pontual:
. Para muito pequeno (próximo de 0), e é finito, então . Portanto não há mudança de sinal em .
- Para
- Conclusão: não existem raízes reais (logo a menor raiz positiva não existe).
- Métodos numéricos: não aplicáveis (não há raiz). Escolha do método: antes de tentar métodos iterativos sempre verificar existência de raiz por análise simples de sinais e de comportamento assintótico.
Passo 8
(f)
.
- Domínio:
. - Sinais e existência:
-
. -
. - Logo existe pelo menos uma raiz em
. - Derivada
para , então é estritamente crescente em . Assim existe exatamente uma raiz positiva.
-
- Isolamento: verifiquei que
e , portanto raiz em . - Métodos:
- Bissecção em
: converge até . - Newton:
. Com obtém-se convergência rápida para . - Secante e Regula Falsi: também convergem.
- Bissecção em
- Conclusão: existe exatamente uma raiz positiva; a menor (única) raiz positiva é
.
Passo 9
(g)
.
- Observações:
-
, então só pode ocorrer quando , ou seja . Assim as raízes estão no intervalo . -
, . Logo existe uma raiz positiva em . - Como
é par (pois e são pares), as raízes vêm em pares simétricos. Logo existem duas raízes reais com .
-
- Isolamento: para positiva,
já que e . - Métodos:
- Bissecção no intervalo
: após reduzir o intervalo até a tolerância obtemos raiz . - Newton:
(pois ). Tomando ou , Newton converge rápido para . - Secante/regula falsi: também convergem bem.
- Bissecção no intervalo
- Conclusão: duas raízes reais; a menor raiz positiva é
.
Passo 10
(h)
.
- Análise de sinais e número de raízes:
-
. -
. Assim há uma raiz em . - Para negativos:
. . Então há uma raiz em . - Portanto existem duas raízes reais (uma negativa entre
e uma positiva entre ).
-
- Menor raiz positiva: a da direita, entre
e (pois ). - Métodos:
- Bissecção em
reduz o intervalo até obter . - Newton:
. Cuidado: para Newton é preciso garantir que o chute não leve a regiões onde é pequeno; aqui com chute converge rapidamente: - Secante/regula falsi também funcionam e chegam a
.
- Bissecção em
- Conclusão: existem duas raízes reais; a menor positiva é
.
Passo 11
Comparação entre métodos e como escolher:
- Bissecção:
- Sempre seguro se soubermos um intervalo
com mudança de sinal. Converge linearmente. Uso recomendado quando quero garantia e a função é contínua no intervalo e posso tolerar um número relativamente grande de iterações.
- Sempre seguro se soubermos um intervalo
- Regula Falsi:
- Mantém a garantia de existir uma raiz no intervalo; normalmente converge mais rápido que bissecção, mas em funções desbalanceadas pode “grudar” num dos extremos e tornar-se lenta.
- Newton-Raphson:
- Muito rápido (quadrático) perto da raiz. Requer
. É ótimo quando tenho uma boa aproximação inicial e não é pequena perto da raiz. Risco: se o chute inicial for ruim ou houver descontinuidade/derivada nula, pode divergir.
- Muito rápido (quadrático) perto da raiz. Requer
- Secante:
- Não precisa de derivada e geralmente converge mais rápido que bissecção (superlinear). Útil quando
é difícil de avaliar.
- Não precisa de derivada e geralmente converge mais rápido que bissecção (superlinear). Útil quando
- Como escolher:
- Primeiro: verificar existência e isolar a raiz com análise de sinais ou gráfico (isso evita perder tempo tentando achar uma raiz que não existe).
- Se preciso de certeza e robustez: uso bissecção/regula falsi para isolar.
- Se tenho uma boa aproximação inicial e
disponível e bem comportada: uso Newton (mais rápido). - Se
for difícil de avaliar mas quero rapidez: uso secante. - Considere também a presença de assíntotas, descontinuidades ou derivadas pequenas: nesses casos prefira bissecção/regula falsi ou procedimentos híbridos (bissecção até intervalo pequeno, depois Newton).
- Resumo prático: isole por bissecção/regula falsi; depois aplique Newton (ou secante) para acelerar convergência.
Resposta
(a) 1 raiz real; menor raiz positiva ≈
.
(b) Infinitas raízes reais (simétricas); menor raiz positiva ≈ .
(c) 1 raiz real positiva; menor raiz positiva ≈ .
(d) Duas raízes positivas; menor raiz positiva ≈ .
(e) Nenhuma raiz real.
(f) 1 raiz real positiva; menor raiz positiva ≈ .
(g) Duas raízes reais ( ); menor raiz positiva ≈
.
(h) Duas raízes reais; menor raiz positiva ≈ .
(b) Infinitas raízes reais (simétricas); menor raiz positiva ≈
(c) 1 raiz real positiva; menor raiz positiva ≈
(d) Duas raízes positivas; menor raiz positiva ≈
(e) Nenhuma raiz real.
(f) 1 raiz real positiva; menor raiz positiva ≈
(g) Duas raízes reais (
(h) Duas raízes reais; menor raiz positiva ≈