Usando o método de Newton-Raphson, com erro inferior a 10^{-4}, determinar uma raiz das seguintes equações:
x^{4}-8=0

Passo 1

O enunciado pede: usando o método de Newton–Raphson, com erro inferior a 10^{-4}, determinar uma raiz da equação
x^{4}-8=0.
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
  • A equação é \;x^{4}-8=0.
  • Queremos uma aproximação de uma raiz (qualquer uma, normalmente tomamos a raiz real positiva) tal que o erro absoluto seja menor que 10^{-4}.
  • Não há outras informações (por exemplo, ponto inicial), então nós escolhemos um palpite inicial razoável.

Passo 2

Apresentação do método de Newton–Raphson (passo-a-passo didático).
  • Seja f(x) a função cuja raiz queremos encontrar. No método de Newton, geramos uma sequência \{x_n\} por
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
Aqui:
  • x_n é a aproximação atual,
  • f(x_n) é o valor da função no ponto x_n,
  • f'(x_n) é a derivada de f no ponto x_n,
  • x_{n+1} é a nova aproximação (espera-se que mais próxima da raiz verdadeira).
  • Para a nossa função \;f(x)=x^{4}-8 temos a derivada
f'(x)=4x^{3}.
  • Substituindo em Newton obtemos a fórmula iterativa específica para este problema:
x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^{4}-8}{4x_n^{3}}.
Podemos simplificar essa expressão (útil para cálculo manual):
x_{n+1}=\frac{3}{4}x_n+\frac{2}{x_n^{3}}.
Explicando as partes: \frac{3}{4}x_n é uma fração do valor atual e \frac{2}{x_n^{3}} é o termo de correção vindo de 8/(4x_n^3). Isso facilita as contas em cada iteração.

Passo 3

Escolha do palpite inicial x_0 e justificativa.
  • Observando a equação: 1^4=1<8 e 2^4=16>8, logo existe uma raiz real entre 1 e 2. Para conveniência aritmética escolho x_0=2 (número inteiro, gera cálculos simples na 1ª iteração).
  • Objetivo: aplicar a fórmula iterativa até que a aproximação esteja com erro absoluto menor que 10^{-4}.

Passo 4

Primeira iteração (de x_0 para x_1).
  • Usando x_0=2 e a forma simplificada:
x_{1}=\frac{3}{4}\cdot 2+\frac{2}{2^{3}}.
  • Calculos:
\frac{3}{4}\cdot 2=1{,}5,\qquad 2^{3}=8,\qquad \frac{2}{8}=0{,}25.
  • Portanto
x_{1}=1{,}5+0{,}25=1{,}75.

Passo 5

Segunda iteração (de x_1 para x_2).
  • Usando x_1=1{,}75:
x_{2}=\frac{3}{4}\cdot 1{,}75+\frac{2}{(1{,}75)^{3}}.
  • Calculemos passo a passo:
\frac{3}{4}\cdot 1{,}75=1{,}3125.
(1{,}75)^{2}=3{,}0625,\qquad (1{,}75)^{3}=3{,}0625\cdot 1{,}75=5{,}359375.
\frac{2}{5{,}359375}\approx 0{,}3738317757.
  • Somando:
x_{2}=1{,}3125+0{,}3738317757\approx 1{,}6863317757.

Passo 6

Terceira iteração (de x_2 para x_3) e verificação do erro.
  • Usando x_2\approx 1{,}6863317757 na fórmula:
x_{3}=\frac{3}{4}\cdot x_{2}+\frac{2}{x_{2}^{3}}.
  • Primeiro calculemos x_{2}^{2} e x_{2}^{3} com cuidado (mostrando como fazer sem pular etapas):
x_{2}^{2}\approx (1{,}6863317757)^{2}\approx 2{,}84371483642
(esse valor foi obtido multiplicando 1{,}6863317757 por si mesmo; eu mostrei no rascunho como decompor para multiplicar manualmente).
x_{2}^{3}=x_{2}^{2}\cdot x_{2}\approx 2{,}84371483642\cdot 1{,}6863317757\approx 4{,}79544668971512.
  • Agora o termo de correção:
\frac{2}{x_{2}^{3}}\approx \frac{2}{4{,}79544668971512}\approx 0{,}4170623000.
  • E a fração \frac{3}{4}x_{2}:
\frac{3}{4}\cdot 1{,}6863317757\approx 1{,}26474883177525.
  • Somando:
x_{3}\approx 1{,}26474883177525+0{,}4170623000\approx 1{,}68181113177525.

Passo 7

Verificação do critério de erro (erro inferior a 10^{-4}).
  • Podemos escrever a raiz exata em forma radical:
\text{raiz exata positiva } r=\sqrt[4]{8}=2^{3/4}.
  • Valor numérico conhecido (ou calculável) é
r\approx 1{,}681792830507429.
  • Agora calculemos o erro absoluto da aproximação x_{3}:
|x_{3}-r|\approx |1{,}68181113177525-1{,}681792830507429|\approx 0{,}000018301267821\approx 1{,}83\times 10^{-5}.
  • Esse erro é menor que 10^{-4} (pois 1{,}83\times 10^{-5}<10^{-4}), logo a aproximação x_{3} satisfaz o requisito pedido. Nota: normalmente em provas aceita-se também usar o critério |x_{n+1}-x_n|<\varepsilon como proxy; aqui mostramos a diferença direta para a raiz exata para garantir que o erro absoluto é realmente inferior a 10^{-4}.

Resposta

x\approx 1{,}6818111318

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