Usando o método de Newton-Raphson, com erro inferior a
, determinar uma raiz das seguintes equações:
Passo 1
O enunciado pede: usando o método de Newton–Raphson, com erro inferior a
, determinar uma raiz da equação
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
- A equação é
. - Queremos uma aproximação de uma raiz (qualquer uma, normalmente tomamos a raiz real positiva) tal que o erro absoluto seja menor que
. - Não há outras informações (por exemplo, ponto inicial), então nós escolhemos um palpite inicial razoável.
Passo 2
Apresentação do método de Newton–Raphson (passo-a-passo didático).
- Seja
a função cuja raiz queremos encontrar. No método de Newton, geramos uma sequência por
Aqui:
-
é a aproximação atual, -
é o valor da função no ponto , -
é a derivada de no ponto , -
é a nova aproximação (espera-se que mais próxima da raiz verdadeira). - Para a nossa função
temos a derivada
- Substituindo em Newton obtemos a fórmula iterativa específica para este problema:
Podemos simplificar essa expressão (útil para cálculo manual):
Explicando as partes:
é uma fração do valor atual e
é o termo de correção vindo de
. Isso facilita as contas em cada iteração.
Passo 3
Escolha do palpite inicial
e justificativa.
- Observando a equação:
e , logo existe uma raiz real entre e . Para conveniência aritmética escolho (número inteiro, gera cálculos simples na 1ª iteração). - Objetivo: aplicar a fórmula iterativa até que a aproximação esteja com erro absoluto menor que
.
Passo 4
Primeira iteração (de
para
).
- Usando
e a forma simplificada:
- Calculos:
- Portanto
Passo 5
Segunda iteração (de
para
).
- Usando
:
- Calculemos passo a passo:
- Somando:
Passo 6
Terceira iteração (de
para
) e verificação do erro.
- Usando
na fórmula:
- Primeiro calculemos
e com cuidado (mostrando como fazer sem pular etapas):
(esse valor foi obtido multiplicando
por si mesmo; eu mostrei no rascunho como decompor para multiplicar manualmente).
- Agora o termo de correção:
- E a fração
:
- Somando:
Passo 7
Verificação do critério de erro (erro inferior a
).
- Podemos escrever a raiz exata em forma radical:
- Valor numérico conhecido (ou calculável) é
- Agora calculemos o erro absoluto da aproximação
:
- Esse erro é menor que
(pois ), logo a aproximação satisfaz o requisito pedido. Nota: normalmente em provas aceita-se também usar o critério como proxy; aqui mostramos a diferença direta para a raiz exata para garantir que o erro absoluto é realmente inferior a .