17- Determinar a raiz positiva de \sqrt{x}-5 e^{-x}=0 pelo método das secantes, com erro inferior a 10^{-3}.

Passo 1

Enunciado e dados: queremos determinar a raiz positiva da equação
\sqrt{x}-5e^{-x}=0,
ou seja, encontrar x>0 tal que
f(x)=\sqrt{x}-5e^{-x}=0.
O que nos é pedido: aplicar o método das secantes até que o erro seja inferior a 10^{-3}. Informação importante: aceitaremos como critério de parada a diferença entre duas iterações consecutivas menor que a tolerância, ou seja, parar quando |x_{n+1}-x_n|<10^{-3}.

Passo 2

O método das secantes: é um método numérico para achar raízes de f(x)=0 que usa duas aproximações iniciais x_{n-1} e x_n e constrói a reta secante entre (x_{n-1},f(x_{n-1})) e (x_n,f(x_n)); a interseção dessa reta com o eixo x dá a nova aproximação x_{n+1}. A fórmula é
x_{n+1}=x_n - f(x_n)\,\frac{x_n-x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})}.
Aqui x_{n-1} e x_n são as duas últimas aproximações e f(x_{n-1}),f(x_n) os respectivos valores da função. Critério de parada: |x_{n+1}-x_n|<10^{-3}.
Escolha das aproximações iniciais: como eu gosto de começar com dois pontos que tenham sinais opostos (isso costuma acelerar e é intuitivo), calculo
f(1)=\sqrt{1}-5e^{-1}=1-5\cdot e^{-1}\approx 1-5\cdot 0,3678794412\approx -0,839397206,
f(2)=\sqrt{2}-5e^{-2}\approx 1,414213562-5\cdot 0,1353352832\approx 0,737537146.
Como f(1)<0 e f(2)>0, a raiz positiva está entre 1 e 2. Tomamos então x_0=1 e x_1=2.

Passo 3

Primeira iteração: aplicar a fórmula das secantes com x_0=1,\;x_1=2, f(x_0)=-0,839397206, f(x_1)=0,737537146.
Substituindo:
x_2 = 2 - 0,737537146\cdot\frac{2-1}{0,737537146-(-0,839397206)} =2 - \frac{0,737537146}{1,576934352}.
Calculando a divisão (aproximação decimal),
\frac{0,737537146}{1,576934352}\approx 0,467731,
logo
x_2\approx 2-0,467731=1,532269.

Passo 4

Calcular f(x_2) para usar na próxima iteração. Primeiro estimativas necessárias:
\sqrt{1,532269}\approx 1,237849\quad(\text{pois }1,237849^2\approx1,532269),
e^{-1,532269}=e^{-1}\cdot e^{-0,532269}\approx 0,3678794\cdot 0,587602\approx 0,216053,
portanto
5e^{-1,532269}\approx 1,080265.
Assim
f(1,532269)=\sqrt{1,532269}-5e^{-1,532269}\approx 1,237849-1,080265\approx 0,157584.

Passo 5

Segunda iteração: usemos agora os últimos dois pontos x_1=2 (com f(x_1)=0,737537146) e x_2=1,532269 (com f(x_2)\approx 0,157584).
A fórmula dá
x_3 = 1,532269 - 0,157584\cdot\frac{1,532269-2}{0,157584-0,737537146}.
Calculemos os termos:
1,532269-2=-0,467731,\qquad 0,157584-0,737537146=-0,579953146.
Então
\frac{1,532269-2}{0,157584-0,737537146}=\frac{-0,467731}{-0,579953146}\approx 0,806475,
multiplicando por f(x_2):
0,157584\cdot 0,806475\approx 0,127050,
e
x_3\approx 1,532269-0,127050=1,405219.

Passo 6

Calcular f(x_3) para o próximo passo:
\sqrt{1,405219}\approx 1,185423\quad(\text{pois }1,185423^2\approx1,405219),
e^{-1,405219}\approx e^{-1,4}\cdot e^{-0,005219}\approx 0,246597\cdot 0,99479\approx 0,245342,
5e^{-1,405219}\approx 1,226710.
Logo
f(1,405219)\approx 1,185423-1,226710\approx -0,041287.
Observe que o sinal mudou (agora f(x_3)<0), então a raiz está entre x_3 e x_2.

Passo 7

Terceira iteração: use x_2=1,532269 com f(x_2)\approx 0,157584 e x_3=1,405219 com f(x_3)\approx -0,041287.
Aplicando a fórmula:
x_4 = 1,405219 - (-0,041287)\cdot\frac{1,405219-1,532269}{-0,041287-0,157584}.
Calculemos:
1,405219-1,532269=-0,127050,
-0,041287-0,157584=-0,198871.
Então
\frac{-0,127050}{-0,198871}\approx 0,63954,
multiplicando por -0,041287 (atenção aos sinais) obtemos um incremento
(-0,041287)\cdot 0,63954\approx -0,026387,
e
x_4\approx 1,405219 - (-0,026387)=1,431606.

Passo 8

Calcular f(x_4):
\sqrt{1,431606}\approx 1,196500\quad(\text{pois }1,1965^2\approx1,431612),
e^{-1,431606}\approx 0,238903\quad(\text{cálculo por aproximação exponencial}),áçã
5e^{-1,431606}\approx 1,194515.
Logo
f(1,431606)\approx 1,196500-1,194515\approx 0,001985.
Agora f(x_4)>0 e muito pequeno; estamos bem próximos da raiz.

Passo 9

Quarta iteração: use x_3=1,405219 ( f\approx -0,041287) e x_4=1,431606 ( f\approx 0,001985).
Aplicando a secante:
x_5 = 1,431606 - 0,001985\cdot\frac{1,431606-1,405219}{0,001985-(-0,041287)}.
Calculemos:
1,431606-1,405219=0,026387,
0,001985-(-0,041287)=0,043272,
\frac{0,026387}{0,043272}\approx 0,6101,
0,001985\cdot 0,6101\approx 0,001210,
x_5\approx 1,431606-0,001210=1,430396.
Diferença |x_5-x_4|\approx 0,001210, ainda ligeiramente acima de 10^{-3}, então precisamos de mais uma iteração.

Passo 10

Calcular f(x_5) para afinar:
usando linearização a partir de x_4 (passo anterior) ou cálculo direto aproximado,
f(1,430396)\approx 0,000034\quad(\text{aproximação obtida por linearização do }f).çãçã
Quinta iteração: use x_4=1,431606 ( f\approx 0,001985) e x_5=1,430396 ( f\approx 0,000034):
x_6 = 1,430396 - 0,000034\cdot\frac{1,430396-1,431606}{0,000034-0,001985}.
Calculemos:
1,430396-1,431606=-0,001210,
0,000034-0,001985=-0,001951,
\frac{-0,001210}{-0,001951}\approx 0,6199,
0,000034\cdot 0,6199\approx 0,000021,
x_6\approx 1,430396-(-0,000021)=1,430417.
Agora a diferença entre iterações é
|x_6-x_5|\approx 0,000021<10^{-3},
portanto o critério de parada foi satisfeito.

Passo 11

Conclusão do processo: com as aproximações e cálculos acima, o método das secantes convergiu para
x\approx 1,43042
com erro inferior a 10^{-3} (pois a última diferença entre iterações foi aproximadamente 2{,}1\times 10^{-5}).

Resposta

x\approx 1,43042

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