17- Determinar a raiz positiva de
pelo método das secantes, com erro inferior a
.
Passo 1
Enunciado e dados: queremos determinar a raiz positiva da equação
ou seja, encontrar
tal que
O que nos é pedido: aplicar o método das secantes até que o erro seja inferior a
. Informação importante: aceitaremos como critério de parada a diferença entre duas iterações consecutivas menor que a tolerância, ou seja, parar quando
.
Passo 2
O método das secantes: é um método numérico para achar raízes de
que usa duas aproximações iniciais
e
e constrói a reta secante entre
e
; a interseção dessa reta com o eixo
dá a nova aproximação
. A fórmula é
Aqui
e
são as duas últimas aproximações e
os respectivos valores da função. Critério de parada:
.
Escolha das aproximações iniciais: como eu gosto de começar com dois pontos que tenham sinais opostos (isso costuma acelerar e é intuitivo), calculo
Como
e
, a raiz positiva está entre
e
. Tomamos então
e
.
Passo 3
Primeira iteração: aplicar a fórmula das secantes com
,
,
.
Substituindo:
Substituindo:
Calculando a divisão (aproximação decimal),
logo
Passo 4
Calcular
para usar na próxima iteração. Primeiro estimativas necessárias:
portanto
Assim
Passo 5
Segunda iteração: usemos agora os últimos dois pontos
(com
) e
(com
).
A fórmula dá
A fórmula dá
Calculemos os termos:
Então
multiplicando por
:
e
Passo 6
Calcular
para o próximo passo:
Logo
Observe que o sinal mudou (agora
), então a raiz está entre
e
.
Passo 7
Terceira iteração: use
com
e
com
.
Aplicando a fórmula:
Aplicando a fórmula:
Calculemos:
Então
multiplicando por
(atenção aos sinais) obtemos um incremento
e
Passo 8
Calcular
:
Logo
Agora
e muito pequeno; estamos bem próximos da raiz.
Passo 9
Quarta iteração: use
(
) e
(
).
Aplicando a secante:
Aplicando a secante:
Calculemos:
Diferença
, ainda ligeiramente acima de
, então precisamos de mais uma iteração.
Passo 10
Calcular
para afinar:
usando linearização a partir de (passo anterior) ou cálculo direto aproximado,
usando linearização a partir de
Quinta iteração: use
(
) e
(
):
Calculemos:
Agora a diferença entre iterações é
portanto o critério de parada foi satisfeito.
Passo 11
Conclusão do processo: com as aproximações e cálculos acima, o método das secantes convergiu para
com erro inferior a
(pois a última diferença entre iterações foi aproximadamente
).