Usando o método de Newton-Raphson, com erro inferior a
, determinar uma raiz das seguintes equações:
Passo 1
O enunciado pede: usar o método de Newton-Raphson para determinar uma raiz da equação
com erro inferior a
.
Informações dadas: a função é . Não foi dada uma raiz inicial; devemos escolher uma intuição razoável e aplicar Newton até que a diferença entre iterações seja menor que
.
Informações dadas: a função é
Passo 2
Defino a função e sua derivada (isso é fundamental para o método de Newton):
Explicação do porquê: no método de Newton usamos a aproximação linear da função em torno de
e escolhemos o ponto onde essa reta cruza o eixo
. A fórmula resultante é
Aqui
é o valor da função no ponto atual e
é a inclinação (derivada) nesse ponto. Cada iteração costuma aproximar bem a raiz se a derivada não for nula.
Passo 3
Escolha da aproximação inicial
: observando o comportamento de
, para
muito negativo temos
muito pequeno e
oscila com
, então existem raízes negativas próximas de pontos onde
é pequeno. Um palpite prático é iniciar em
(está próximo do intervalo
, onde
é positiva e encontra
). Escolher um
nessa vizinhança facilita a convergência. Vou usar
como critério de parada (erro entre iterações), que é simples de aplicar na prova.
Passo 4
Iteração 0 → 1: calculos em
.
Calcule e
:
Calcule
Aplicando Newton:
Diferença
, continua.
Passo 5
Iteração 1 → 2: calculos em
.
Para facilitar a interpretação, observe que é
; então
está muito próximo de
. Calcule
e
aproximando via o deslocamento relativo a
.
Para facilitar a interpretação, observe que
Seja
. Então
Logo
E
Aplicando Newton:
Diferença
, continua.
Passo 6
Iteração 2 → 3: calculos em
.
Seja (agora positivo e pequeno). Então
Seja
Logo
E
Aplicando Newton:
Diferença
. Critério de parada satisfeito.
Passo 7
Interpretação final: chegamos a uma aproximação da raiz com diferença entre últimas iterações menor que
. A raiz encontrada é aproximadamente
. Lembre-se: esse é um dos infinitos pontos de interseção (há raízes em intervalos negativos periódicos), mas a questão pedia determinar uma raiz — essa serve.