Questão 5. Assinale a alternativa correspondente ao valor da soma abaixo:
\frac{3}{1!+2!+3!}+\frac{4}{2!+3!+4!}+\frac{5}{1!+4!+5!}+\cdots+\frac{2026}{2024!+2025!+2026!}
A ( ) \frac{1}{2}-\frac{1}{2026!}
B ( ) \frac{1}{2}-\frac{1}{2025!}
C ( ) \frac{1}{3!}-\frac{1}{2026!}
D ( ) \frac{1}{2}+\frac{1}{2025!}
E ( ) \frac{1}{2}-\frac{1}{2026}

Passo 1

O enunciado dá a soma finita
\frac{3}{1!+2!+3!}+\frac{4}{2!+3!+4!}+\frac{5}{3!+4!+5!}+\cdots+\frac{2026}{2024!+2025!+2026!}.
Pede-se calcular o valor dessa soma e assinalar a alternativa correta (A, B, C, D ou E).
Informações relevantes:
  • Os termos seguem o padrão: numerador k+2 e denominador k!+(k+1)!+(k+2)! para k=1,2,\dots,2024.
  • O último termo corresponde a k=2024: \dfrac{2026}{2024!+2025!+2026!}.

Passo 2

Objetivo imediato: simplificar o termo genérico
\text{termo}_k=\frac{k+2}{k!+(k+1)!+(k+2)!}
para obter uma forma que permita somar facilmente. Vou transformar o denominador fatorando k!, porque k!,\\ (k+1)!,\\ (k+2)! têm k! em comum. Isso é uma técnica padrão: quando há somas de fatoriais consecutivos, fatorar o menor deles simplifica bastante.

Passo 3

Fatorando k! do denominador:
k!+(k+1)!+(k+2)! = k!\bigl(1+(k+1)+(k+2)(k+1)\bigr).
Agora simplifico o parêntese:
1+(k+1)+(k+2)(k+1) = 1 + k+1 + (k+2)(k+1).
Reagrupando:
1 + k+1 = k+2,\qquad\text{então}\qquad k+2 + (k+2)(k+1)=(k+2)\bigl(1+(k+1)\bigr)=(k+2)^2.ã
Portanto
k!+(k+1)!+(k+2)! = k!(k+2)^2.

Passo 4

Usando a simplificação do denominador, o termo genérico vira
\text{termo}_k=\frac{k+2}{k!(k+2)^2}=\frac{1}{k!(k+2)}.
Outra forma útil é escrever esse quociente com fatoriais maiores. Observe que
\frac{k+1}{(k+2)!}=\frac{k+1}{(k+2)(k+1)k!}=\frac{1}{k!(k+2)}.
Logo temos a igualdade importante
\text{termo}_k=\frac{1}{k!(k+2)}=\frac{k+1}{(k+2)!}.

Passo 5

Agora vou escrever \dfrac{k+1}{(k+2)!} como diferença de termos fatoriais para obter telescópica. Note que
\frac{1}{(k+1)!}-\frac{1}{(k+2)!} = \frac{(k+2)-1}{(k+2)!} = \frac{k+1}{(k+2)!}.
Portanto
\text{termo}_k=\frac{1}{(k+1)!}-\frac{1}{(k+2)!}.
Isto é ótimo porque somas de diferenças desse tipo “telescopam”: muitos termos internos cancelam quando somamos para vários k.

Passo 6

Somando \text{termo}_k de k=1 até k=2024 obtemos uma soma telescópica:
S=\sum_{k=1}^{2024}\left(\frac{1}{(k+1)!}-\frac{1}{(k+2)!}\right).
Escrevendo os primeiros e últimos termos para ver o cancelamento:
\begin{aligned} S &= \left(\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}\right) +\left(\frac{1}{3!}-\frac{1}{4!}\right) +\left(\frac{1}{4!}-\frac{1}{5!}\right) +\cdots +\left(\frac{1}{2025!}-\frac{1}{2026!}\right). \end{aligned}
Todos os termos intermediários \frac{1}{3!},\frac{1}{4!},\dots,\frac{1}{2025!} aparecem uma vez com sinal + e outra vez com sinal , e portanto cancelam. Sobra apenas:
S=\frac{1}{2!}-\frac{1}{2026!}.

Passo 7

Calculo final: \dfrac{1}{2!}=\dfrac{1}{2}. Então
S=\frac{1}{2}-\frac{1}{2026!}.
Comparando com as alternativas, esta expressão é exatamente a alternativa A.

Resposta

A ( ) \displaystyle \frac{1}{2}-\frac{1}{2026!}

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