Questão 5. Assinale a alternativa correspondente ao valor da soma abaixo:
A ( )
B ( )
C ( )
D ( )
E ( )
B ( )
C ( )
D ( )
E ( )
Passo 1
O enunciado dá a soma finita
Pede-se calcular o valor dessa soma e assinalar a alternativa correta (A, B, C, D ou E).
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- Os termos seguem o padrão: numerador
e denominador para . - O último termo corresponde a
: .
Passo 2
Objetivo imediato: simplificar o termo genérico
para obter uma forma que permita somar facilmente. Vou transformar o denominador fatorando
, porque
têm
em comum. Isso é uma técnica padrão: quando há somas de fatoriais consecutivos, fatorar o menor deles simplifica bastante.
Passo 3
Fatorando
do denominador:
Agora simplifico o parêntese:
Reagrupando:
Portanto
Passo 4
Usando a simplificação do denominador, o termo genérico vira
Outra forma útil é escrever esse quociente com fatoriais maiores. Observe que
Logo temos a igualdade importante
Passo 5
Agora vou escrever
como diferença de termos fatoriais para obter telescópica. Note que
Portanto
Isto é ótimo porque somas de diferenças desse tipo “telescopam”: muitos termos internos cancelam quando somamos para vários
.
Passo 6
Somando
de
até
obtemos uma soma telescópica:
Escrevendo os primeiros e últimos termos para ver o cancelamento:
Todos os termos intermediários
aparecem uma vez com sinal
e outra vez com sinal
, e portanto cancelam. Sobra apenas:
Passo 7
Calculo final:
. Então
Comparando com as alternativas, esta expressão é exatamente a alternativa A.
Resposta
A ( )