Seja
.
(a) Prove que
tem duas raizes, uma positiva e uma negativa e determine dois intervalos distintos contendo cada uma delas.
(b) Usando o Método de Newton, com o valor inicial de sua escolha, calcule a raiz positiva com erro inferior a
.
(c) Aplique o Método das Secantes, com as condições iniciais de sua escolha, e determine a outra raiz negativa, com erro inferior a
.
(d) Determine a raiz negativa usando o Método Regula Falsi, com erro inferior a
. As condições iniciais são de sua escolha.
(a) Prove que
(b) Usando o Método de Newton, com o valor inicial de sua escolha, calcule a raiz positiva com erro inferior a
(c) Aplique o Método das Secantes, com as condições iniciais de sua escolha, e determine a outra raiz negativa, com erro inferior a
(d) Determine a raiz negativa usando o Método Regula Falsi, com erro inferior a
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e quais informações temos.
- A função dada é
. - O enunciado pede:
(a) provar quetem duas raízes, uma positiva e uma negativa, e determinar dois intervalos distintos que contenham cada uma delas;
(b) usar o Método de Newton (com inicial de minha escolha) para calcular a raiz positiva com erro inferior a;
(c) usar o Método das Secantes (com iniciais de minha escolha) para determinar a raiz negativa com erro inferior a;
(d) determinar a raiz negativa usando o Método Regula Falsi (com iniciais de minha escolha) com erro inferior a.
Informações úteis que já temos (da definição da função):
-
para todo . - A função é composta por polinômio e funções trigonométricas básicas, logo é contínua em toda
. - Observação prática:
é uma função par, porque Isso implica que, se existir uma raiz positiva , então também é raiz (simetria).
Passo 2
Provar existência de uma raiz positiva e de uma raiz negativa por teorema do valor intermediário (TVI) — preparo teórico curto.
- Teorema do Valor Intermediário: se
é contínua em e e têm sinais opostos, então existe tal que .
Aplicação a
:
- Calcular
: Então . - Calcular
. Como , Logo . Pelo TVI, existe ao menos um com : uma raiz positiva. - Calcular
: Como e , pelo TVI existe ao menos um com : uma raiz negativa.
Portanto existem pelo menos duas raízes, uma em
e outra em
. Pela paridade de
essas raízes são simétricas: se
é raiz, então
é raiz.
Passo 3
Provar que há exatamente uma raiz positiva (e portanto exatamente uma negativa) e estreitar os intervalos.
-
Derivada de
: Explicando: derivedá ; derive usando regra da cadeia: , e usamos identidade . -
Para
temos , então Seentão , logo para .
Para, note que e , então também.
Assim concluímos quepara todo . Portanto é crescente em . -
Como
é crescente em e e , existe exatamente uma raiz positiva. Por paridade, existe exatamente uma raiz negativa.
Agora podemos estreitar numericamente os intervalos onde cada raiz está:
- Avaliando alguns pontos:
Assim existe a raiz positiva em . Podemos refinar mais avaliando e : Logo a raiz positiva está em . Por paridade, a raiz negativa está em .
Resumo do item (a): existem exatamente duas raízes (pela paridade, simétricas) e um par de intervalos que as contêm é
Passo 4
Preparação para os métodos numéricos (fórmulas e verificação de derivadas).
-
Fórmula do Método de Newton: se
é a aproximação atual, a próxima é Aqui.
Observação didática: Newton converge rapidamente (convergência quadrática) se a aproximação inicial estiver razoavelmente próxima da raiz enão for zero na raiz. -
Fórmula do Método das Secantes: dadas duas aproximações
e , define-se É uma versão que não precisa de derivada; converge superlinear (ordem aproximadamente) quando funciona bem. -
Fórmula do Regula Falsi (posição falsa): dado um intervalo
com , calcula-se Em cada passo substitui-se o ponto de mesmo sinal porde modo que o intervalo mantenha mudança de sinal (isso garante que a raiz fica sempre dentro do intervalo).
Critério de parada que vou usar nos métodos numéricos:
- Vou parar quando a diferença entre duas aproximações consecutivas for menor que
, isto é . Isso garante (praticamente) erro na raiz menor que em métodos de convergência estável como Newton e secante; para o Regula Falsi também usarei a diferença entre estimativas consecutivas como critério prático.
Passo 5
Implementação do Método de Newton para a raiz positiva (item b). Escolha do inicial e justificativa.
- Escolho
, pois pelo passo anterior sabemos que a raiz está em e um ponto no extremo superior costuma ser bom para Newton aqui (função crescente, derivada não nula). - Vou calcular iterativamente
até . - Lembrete: para simplificar avaliações numéricas é útil usar a forma
porque . Isso facilita o cálculo de a partir de e do valor de .
Passo 6
Cálculos do Método de Newton (valores principais, mostrando as contas relevantes).
- Iteração 0 (inicial):
Calcular e :
Atualização:
- Iteração 1:
Calcular e (valores aproximados com precisão suficiente para o critério): Atualização: Diferença: Portanto já atingimos o critério pedido.
Comentário didático final sobre Newton: duas iterações foram suficientes porque Newton tem convergência quadrática e estávamos bem próximos do zero a partir de
.
Passo 7
Resultado do Método de Newton (conclusão do item b).
- A aproximação da raiz positiva encontrada com erro inferior a
é (a parada foi feita quando a diferença entre iterações caiu abaixo de ).
Passo 8
Aplicação do Método das Secantes para achar a raiz negativa (item c). Escolha das condições iniciais e explicação.
- Escolho os pontos iniciais
e . Justificativa: sabemos que a raiz negativa está em , então esses pontos cercam a raiz. - Lembrete: como
é par, e . - Fórmula da secante:
- Critério de parada:
.
Passo 9
Cálculos do Método das Secantes (iterados principais).
- Iteração 0 (dados):
-
Calcular
: Substituindo:(cálculo numérico mostrado no passo:no numerador da fração, denominador aproximadamente , resultando em deslocamento levando a ). -
Avaliar
. Usando simetria e cálculos anteriores, obtemos -
Calcular
usando e (últimos dois pontos): Substituindo valores aproximados:Diferença:logo atingimos o critério de parada.
Comentário: tivemos convergência rápida porque a função é suave e as condições iniciais estavam bem escolhidas.
Passo 10
Resultado do Método das Secantes (conclusão do item c).
- A aproximação da raiz negativa encontrada com erro inferior a
é
Passo 11
Aplicação do Método Regula Falsi para encontrar a raiz negativa (item d). Escolha do intervalo e explicação.
- Escolho o intervalo
porque: logo e a raiz está dentro do intervalo. - Regula Falsi (posição falsa): em cada passo calcula-se
Depois substitui-se o extremo com sinal igual a por , mantendo sempre mudança de sinal no novo intervalo. Critério de parada: .
Passo 12
Cálculos do Regula Falsi (iterações principais, suficiente para atingir o critério).
- Iteração 1:
Aqui
(negativo), então novo intervalo é
.
-
Iteração 2:com
(negativo). Novo intervalo . -
Iteração 3:
Aplicando a mesma fórmula com os valores atualizados obtemos(diferença). -
Iteração 4:
Repetindo:(diferença). -
Iteração 5:(diferença
— já praticamente no limite pedido). -
Iteração 6 (uma iteração extra para garantir margem):com
, portanto bem dentro do critério .
Comentário prático: Regula Falsi costuma preservar o bracketing e converge de forma robusta; aqui as iterações mostradas (3–6) aproximam-se rapidamente da raiz devido à suavidade de
.
Passo 13
Resultado do Regula Falsi (conclusão do item d).
- A aproximação da raiz negativa encontrada com erro inferior a
pelo Regula Falsi é
Resposta
(a) A função
tem duas raízes; uma positiva em
e a outra negativa em
.
(b) Raiz positiva (Método de Newton, erro <
):
(c) Raiz negativa (Método das Secantes, erro <
):
(d) Raiz negativa (Método Regula Falsi, erro <
):