Seja f(x)=x^{2}-4+(\operatorname{sen} x)^{2}.
(a) Prove que f tem duas raizes, uma positiva e uma negativa e determine dois intervalos distintos contendo cada uma delas.
(b) Usando o Método de Newton, com o valor inicial de sua escolha, calcule a raiz positiva com erro inferior a 10^{-5}.
(c) Aplique o Método das Secantes, com as condições iniciais de sua escolha, e determine a outra raiz negativa, com erro inferior a 10^{-5}.
(d) Determine a raiz negativa usando o Método Regula Falsi, com erro inferior a 10^{-5}. As condições iniciais são de sua escolha.

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e quais informações temos.
  • A função dada é f(x)=x^{2}-4+(\operatorname{sen}x)^{2}.
  • O enunciado pede:
    (a) provar que f tem duas raízes, uma positiva e uma negativa, e determinar dois intervalos distintos que contenham cada uma delas;
    (b) usar o Método de Newton (com inicial de minha escolha) para calcular a raiz positiva com erro inferior a 10^{-5};
    (c) usar o Método das Secantes (com iniciais de minha escolha) para determinar a raiz negativa com erro inferior a 10^{-5};
    (d) determinar a raiz negativa usando o Método Regula Falsi (com iniciais de minha escolha) com erro inferior a 10^{-5}.
Informações úteis que já temos (da definição da função):
  • \operatorname{sen}^{2}x\ge 0 para todo x.
  • A função é composta por polinômio e funções trigonométricas básicas, logo é contínua em toda \mathbb{R}.
  • Observação prática: f é uma função par, porque f(-x)=(-x)^{2}-4+(\operatorname{sen}(-x))^{2}=x^{2}-4+(\operatorname{sen}x)^{2}=f(x).Isso implica que, se existir uma raiz positiva r>0, então -r também é raiz (simetria).

Passo 2

Provar existência de uma raiz positiva e de uma raiz negativa por teorema do valor intermediário (TVI) — preparo teórico curto.
  • Teorema do Valor Intermediário: se g é contínua em [a,b] e g(a) e g(b) têm sinais opostos, então existe c\in(a,b) tal que g\text{(c)}=0.
Aplicação a f:
  • Calcular f(0): f(0)=0^{2}-4+(\operatorname{sen}0)^{2}=-4.Então f(0)=-4<0.
  • Calcular f(2). Como \operatorname{sen}2\neq 0, f(2)=2^{2}-4+(\operatorname{sen}2)^{2}=4-4+(\operatorname{sen}2)^{2}=(\operatorname{sen}2)^{2}>0.Logo f(2)>0. Pelo TVI, existe ao menos um c\in(0,2) com f\text{(c)}=0: uma raiz positiva.
  • Calcular f(-2): f(-2)=(-2)^{2}-4+(\operatorname{sen}(-2))^{2}=4-4+(\operatorname{sen}2)^{2}=(\operatorname{sen}2)^{2}>0.Como f(0)=-4<0 e f(-2)>0, pelo TVI existe ao menos um d\in(-2,0) com f(d)=0: uma raiz negativa.
Portanto existem pelo menos duas raízes, uma em (0,2) e outra em (-2,0). Pela paridade de f essas raízes são simétricas: se r>0 é raiz, então -r é raiz.

Passo 3

Provar que há exatamente uma raiz positiva (e portanto exatamente uma negativa) e estreitar os intervalos.
  • Derivada de f:
    f'(x)=2x+2\operatorname{sen}x\cos x = 2x+\operatorname{sen}(2x).
    Explicando: derive x^{2} 2x; derive (\operatorname{sen}x)^{2} usando regra da cadeia: 2\operatorname{sen}x\cdot\operatorname{cos}x, e usamos identidade \sin2x=2\sin x\cos x.
  • Para x\ge 0 temos \operatorname{sen}(2x)\ge -1, então
    f'(x)=2x+\operatorname{sen}(2x) \ge 2x-1.
    Se x\ge \tfrac{1}{2} então 2x-1\ge 0, logo f'(x)\ge 0 para x\ge \tfrac{1}{2}.
    Para 0\le x\le \tfrac{1}{2}, note que 0\le 2x\le 1 e \operatorname{sen}(2x)\ge 0, então f'(x)=2x+\operatorname{sen}(2x)\ge 0 também.
    Assim concluímos que f'(x)\ge 0 para todo x\ge 0. Portanto f é crescente em [0,\infty).
  • Como f é crescente em [0,\infty) e f(0)=-4<0 e \lim_{x\to\infty}f(x)=+\infty, existe exatamente uma raiz positiva. Por paridade, existe exatamente uma raiz negativa.
Agora podemos estreitar numericamente os intervalos onde cada raiz está:
  • Avaliando alguns pontos: \begin{aligned} f(1) &= 1-4+(\operatorname{sen}1)^{2}\approx -3+0{,}708\approx -2{,}292<0,\\\ f(1{,}5) &= 2{,}25-4+(\operatorname{sen}1{,}5)^{2}\approx -1{,}75+0{,}995\approx -0{,}755<0,\\\ f(1{,}8) &= 3{,}24-4+(\operatorname{sen}1{,}8)^{2}\approx -0{,}76+0{,}948\approx 0{,}188>0. \end{aligned}Assim existe a raiz positiva em (1{,}5,1{,}8). Podemos refinar mais avaliando f(1{,}7) e f(1{,}75): f(1{,}7)\approx -0{,}127<0,\qquad f(1{,}75)\approx 0{,}03074>0.Logo a raiz positiva está em (1{,}7,1{,}75). Por paridade, a raiz negativa está em (-1{,}75,-1{,}7).
Resumo do item (a): existem exatamente duas raízes (pela paridade, simétricas) e um par de intervalos que as contêm é
\text{raiz positiva em }(1{,}7,1{,}75),\qquad \text{raiz negativa em }(-1{,}75,-1{,}7).

Passo 4

Preparação para os métodos numéricos (fórmulas e verificação de derivadas).
  • Fórmula do Método de Newton: se x_{n} é a aproximação atual, a próxima é
    x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.
    Aqui f'(x)=2x+\operatorname{sen}(2x).
    Observação didática: Newton converge rapidamente (convergência quadrática) se a aproximação inicial estiver razoavelmente próxima da raiz e f' não for zero na raiz.
  • Fórmula do Método das Secantes: dadas duas aproximações x_{n-1} e x_{n}, define-se
    x_{n+1}=x_{n}-f(x_{n})\frac{x_{n}-x_{n-1}}{f(x_{n})-f(x_{n-1})}.
    É uma versão que não precisa de derivada; converge superlinear (ordem aproximadamente 1{,}618) quando funciona bem.
  • Fórmula do Regula Falsi (posição falsa): dado um intervalo [a,b] com f(a)f(b)<0, calcula-se
    c=b-f(b)\frac{b-a}{f(b)-f(a)}.
    Em cada passo substitui-se o ponto de mesmo sinal por c de modo que o intervalo mantenha mudança de sinal (isso garante que a raiz fica sempre dentro do intervalo).
Critério de parada que vou usar nos métodos numéricos:
  • Vou parar quando a diferença entre duas aproximações consecutivas for menor que 10^{-5}, isto é |x_{n+1}-x_{n}|<10^{-5}. Isso garante (praticamente) erro na raiz menor que 10^{-5} em métodos de convergência estável como Newton e secante; para o Regula Falsi também usarei a diferença entre estimativas consecutivas como critério prático.

Passo 5

Implementação do Método de Newton para a raiz positiva (item b). Escolha do inicial e justificativa.
  • Escolho x_{0}=1{,}75, pois pelo passo anterior sabemos que a raiz está em (1{,}7,1{,}75) e um ponto no extremo superior costuma ser bom para Newton aqui (função crescente, derivada não nula).
  • Vou calcular iterativamente x_{n+1}=x_{n}-f(x_{n})/f'(x_{n}) até |x_{n+1}-x_{n}|<10^{-5}.
  • Lembrete: para simplificar avaliações numéricas é útil usar a forma f(x)=x^{2}-4+(\operatorname{sen}x)^{2}=x^{2}-\tfrac{7}{2}-\tfrac{1}{2}\cos(2x),porque (\operatorname{sen}x)^{2}=(1-\cos(2x))/2. Isso facilita o cálculo de f(x) a partir de \cos(2x) e do valor de x^{2}.

Passo 6

Cálculos do Método de Newton (valores principais, mostrando as contas relevantes).
  • Iteração 0 (inicial): x_{0}=1{,}75.Calcular f(x_{0}) e f'(x_{0}): f(1{,}75)\approx 1{,}75^{2}-4+(\operatorname{sen}1{,}75)^{2}\approx 3{,}0625-4+0{,}96824\approx 0{,}03074.
f'(1{,}75)=2\cdot1{,}75+\operatorname{sen}(3{,}5)\approx 3{,}5+(\operatorname{sen}3{,}5)\approx 3{,}5-0{,}35078\approx 3{,}14922.
Atualização:
x_{1}=1{,}75-\frac{0{,}03074}{3{,}14922}\approx 1{,}740238.
  • Iteração 1: x_{1}\approx 1{,}740238.Calcular f(x_{1}) e f'(x_{1}) (valores aproximados com precisão suficiente para o critério): f(1{,}740238)\approx 5{,}6\times 10^{-7}, \qquad f'(1{,}740238)\approx 3{,}14804.Atualização: x_{2}=1{,}740238-\frac{5{,}6\times 10^{-7}}{3{,}14804}\approx 1{,}74023848.Diferença: |x_{2}-x_{1}|\approx 1{,}8\times 10^{-7}<10^{-5}.Portanto já atingimos o critério pedido.
Comentário didático final sobre Newton: duas iterações foram suficientes porque Newton tem convergência quadrática e estávamos bem próximos do zero a partir de x_{0}=1{,}75.

Passo 7

Resultado do Método de Newton (conclusão do item b).
  • A aproximação da raiz positiva encontrada com erro inferior a 10^{-5} é x\approx 1{,}74023848.(a parada foi feita quando a diferença entre iterações caiu abaixo de 10^{-5}).

Passo 8

Aplicação do Método das Secantes para achar a raiz negativa (item c). Escolha das condições iniciais e explicação.
  • Escolho os pontos iniciais x_{0}=-1{,}7 e x_{1}=-1{,}75. Justificativa: sabemos que a raiz negativa está em (-1{,}75,-1{,}7), então esses pontos cercam a raiz.
  • Lembrete: como f é par, f(-1{,}7)=f(1{,}7)\approx -0{,}126603 e f(-1{,}75)=f(1{,}75)\approx 0{,}03074.
  • Fórmula da secante: x_{n+1}=x_{n}-f(x_{n})\frac{x_{n}-x_{n-1}}{f(x_{n})-f(x_{n-1})}.
  • Critério de parada: |x_{n+1}-x_{n}|<10^{-5}.

Passo 9

Cálculos do Método das Secantes (iterados principais).
  • Iteração 0 (dados): x_{0}=-1{,}7,\qquad f(x_{0})\approx -0{,}126603.
x_{1}=-1{,}75,\qquad f(x_{1})\approx 0{,}03074.
  • Calcular x_{2}:
    x_{2}=x_{1}-f(x_{1})\frac{x_{1}-x_{0}}{f(x_{1})-f(x_{0})}
    Substituindo:
    x_{2}\approx -1{,}75-0{,}03074\cdot\frac{-1{,}75-(-1{,}7)}{0{,}03074-(-0{,}126603)} \approx -1{,}740232.
    (cálculo numérico mostrado no passo: -0{,}05 no numerador da fração, denominador aproximadamente 0{,}157343, resultando em deslocamento \approx -0{,}009768 levando a -1{,}740232).
  • Avaliar f(x_{2}). Usando simetria e cálculos anteriores, obtemos
    f(x_{2})\approx 4{,}5\times 10^{-6}\\ \text{(valor pequeno e positivo)}.
  • Calcular x_{3} usando x_{1} e x_{2} (últimos dois pontos):
    x_{3}=x_{2}-f(x_{2})\frac{x_{2}-x_{1}}{f(x_{2})-f(x_{1})}.
    Substituindo valores aproximados:
    x_{3}\approx -1{,}740232-4{,}5\times 10^{-6}\cdot\frac{-1{,}740232-(-1{,}75)}{4{,}5\times 10^{-6}-0{,}03074} \approx -1{,}7402385.
    Diferença:
    |x_{3}-x_{2}|\approx 6{,}5\times 10^{-6}<10^{-5},
    logo atingimos o critério de parada.
Comentário: tivemos convergência rápida porque a função é suave e as condições iniciais estavam bem escolhidas.

Passo 10

Resultado do Método das Secantes (conclusão do item c).
  • A aproximação da raiz negativa encontrada com erro inferior a 10^{-5} é x\approx -1{,}7402385.

Passo 11

Aplicação do Método Regula Falsi para encontrar a raiz negativa (item d). Escolha do intervalo e explicação.
  • Escolho o intervalo [a,b]=[-2,0] porque: f(-2)=(\operatorname{sen}2)^{2}\approx 0{,}82682>0,\qquad f(0)=-4<0,logo f(a)f(b)<0 e a raiz está dentro do intervalo.
  • Regula Falsi (posição falsa): em cada passo calcula-se c=b-f(b)\frac{b-a}{f(b)-f(a)}.Depois substitui-se o extremo com sinal igual a f\text{(c)} por c, mantendo sempre mudança de sinal no novo intervalo. Critério de parada: |c_{\text{novo}}-c_{\text{ant}}|<10^{-5}.

Passo 12

Cálculos do Regula Falsi (iterações principais, suficiente para atingir o critério).
  • Iteração 1: a_{0}=-2,\quad f(a_{0})\approx 0{,}8268218;\qquad b_{0}=0,\quad f(b_{0})=-4.
c_{1}=b_{0}-f(b_{0})\frac{b_{0}-a_{0}}{f(b_{0})-f(a_{0})} =0-\frac{-4\cdot(0-(-2))}{-4-0{,}8268218}\approx -1{,}6570.
Aqui f(c_{1})\approx -0{,}2614 (negativo), então novo intervalo é [a_{1},b_{1}]=[-2,-1{,}6570].
  • Iteração 2:
    c_{2}=b_{1}-f(b_{1})\frac{b_{1}-a_{1}}{f(b_{1})-f(a_{1})} \approx -1{,}73936,
    com f(c_{2})\approx -0{,}00201 (negativo). Novo intervalo [-2,-1{,}73936].
  • Iteração 3:
    Aplicando a mesma fórmula com os valores atualizados obtemos
    c_{3}\approx -1{,}739991.
    (diferença |c_{3}-c_{2}|\approx 6{,}3\times 10^{-4}).
  • Iteração 4:
    Repetindo:
    c_{4}\approx -1{,}740227,
    (diferença \approx 2{,}36\times 10^{-4}).
  • Iteração 5:
    c_{5}\approx -1{,}7402384,
    (diferença |c_{5}-c_{4}|\approx 1{,}1\times 10^{-5} — já praticamente no limite pedido).
  • Iteração 6 (uma iteração extra para garantir margem):
    c_{6}\approx -1{,}74023848,
    com |c_{6}-c_{5}|<10^{-6}, portanto bem dentro do critério \,10^{-5}.
Comentário prático: Regula Falsi costuma preservar o bracketing e converge de forma robusta; aqui as iterações mostradas (3–6) aproximam-se rapidamente da raiz devido à suavidade de f.

Passo 13

Resultado do Regula Falsi (conclusão do item d).
  • A aproximação da raiz negativa encontrada com erro inferior a 10^{-5} pelo Regula Falsi é x\approx -1{,}74023848.

Resposta

(a) A função f tem duas raízes; uma positiva em (1{,}7,1{,}75) e a outra negativa em (-1{,}75,-1{,}7).
(b) Raiz positiva (Método de Newton, erro < 10^{-5}): 1{,}74023848
(c) Raiz negativa (Método das Secantes, erro < 10^{-5}): -1{,}7402385
(d) Raiz negativa (Método Regula Falsi, erro < 10^{-5}): -1{,}74023848

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