Se 1+|z|=|1+z|, determine Re(z) e Im(z).

Passo 1

Então, a questão diz: “Se , determine e .”
Conteúdo: números complexos, módulo (ou “valor absoluto”) de complexo, manipulação algébrica.
O que vamos precisar:
  • Escrever como (com e ).
  • Saber que e .
  • Usar a ideia de “elevar dos lados ao quadrado” para se livrar das raízes, lembrando que tudo aqui é não-negativo.

Passo 2

Primeiro, põe |z| = raizx^2 + y^2, |1+z| = raiz(1 + x)^2 + y^2 .
Logo:
1 + raizx^2 + y^2 = raiz(1 + x)^2 + y^2
A equação dada vira

Passo 3

Vamos eliminar as raízes, elevando ambos os lados ao quadrado. Como tanto l(1 + raizx^2 + y^2r)^2 = l(raiz(1 + x)^2 + y^2r)^2 quanto são ≥ 0, isso não cria soluções extras.
Elevação ao quadrado:
No lado esquerdo: , com .
No direito sobra .

Passo 4

Escrevendo tudo:
1 + 2raizx^2+y^2 + (x^2+y^2) = (1+x)^2 + y^2 = 1 + 2x + x^2 + y^2
Agora cancele 2raizx^2+y^2 = 2x Longrightarrow raizx^2 + y^2 = x e também o dos dois lados:
Isso só é possível se:
  1. (porque sempre),
  2. quadrando de novo: , o que dá , ou seja .

Passo 5

Só pra garantir: se |z| = |x| = x, |1+z| = |1 + x| = 1+x, e , então
e a equação vira , que tá certinho.

Resposta

e .

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