Calcular a parte real, parte imaginária, conjugado e módulo de cada número complexo a seguir:
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente calcular, em cima do número complexo
z = (-1 + i)^7
a) parte real
b) parte imaginária
c) conjugado
d) módulo
b) parte imaginária
c) conjugado
d) módulo
Conteúdo envolvido: números complexos em forma
, cálculo de módulo e argumento, fórmula de De Moivre para potência, conjugado. Vamos usar tudo isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, representamos o número base
em forma polar:
- módulo:
|w| = \sqrt{(-1)^2 + (1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}.
- argumento
:
\tan\theta = \frac{\Im(w)}{\Re(w)} = \frac{1}{-1} = -1.
Como
e
, estamos no 2º quadrante, então
\theta = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}.
Passo 3
Agora aplicamos a fórmula de De Moivre pra elevar à 7ª potência:
w^7 = |w|^7 \bigl(\cos(7\theta) + i\,\sin(7\theta)\bigr).
- Calcula o módulo elevado:
|w|^7 = (\sqrt{2})^7 = 2^{7/2} = 8\sqrt{2}.
- Calcula o ângulo de
:
7\theta = 7\cdot\frac{3\pi}{4} = \frac{21\pi}{4} = 4\pi + \frac{5\pi}{4}.
Como adicionar
não muda cosseno nem seno, é equivalente a
. E
\cos\!\bigl(5\pi/4\bigr) = -\frac{\sqrt{2}}{2},
\quad
\sin\!\bigl(5\pi/4\bigr) = -\frac{\sqrt{2}}{2}.
Então
w^7 = 8\sqrt{2}\,\Bigl(-\tfrac{\sqrt{2}}{2} + i\,(-\tfrac{\sqrt{2}}{2})\Bigr)
= 8\sqrt{2}\,\Bigl(-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\Bigr)\,(1 + i)
= 8\cdot(-1)\,(1+i)
= -8 - 8i.
Passo 4
A parte real e a parte imaginária de
são simplesmente os coeficientes:
\Re(w^7) = -8,
\quad
\Im(w^7) = -8.
Passo 5
O conjugado de um complexo
é
. Logo, para
w^7 = -8 - 8i,
o conjugado é
\overline{w^7} = -8 + 8i.
Passo 6
O módulo de
pode ser calculado diretamente por
|w^7| = \sqrt{(-8)^2 + (-8)^2} = \sqrt{64 + 64} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}.
Ou então usar a propriedade
.
Resposta
Parte real:
Parte imaginária:
Conjugado:
Módulo:
Parte imaginária:
Conjugado:
Módulo: