Determine as raízes dos polinômios a seguir:
z^4+1

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra encontrar todas as raízes do polinômio
z^4 + 1 = 0
Isso é conteúdo de números complexos: a ideia é reescrever em forma polar (módulo e argumento) e usar a fórmula de De Moivre pra extrair a raiz quarta. A gente vai precisar lembrar que
1) Qualquer número complexo pode ser escrito como .
2) Se , então as raízes são e .

Passo 2

Primeiro, vamos isolar:
z^4 = -1
Escrevendo -1 = e^i(pi + 2pi k), kin0,1,2,3 em forma polar: . Mas, em geral, podemos adicionar ao ângulo pra não perder nenhuma solução, então

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula da raiz quarta: se z = e^ipi + 2pi k4 = e^i(pi4 + pi k2), então

com .

Passo 4

Só restam listar os valores de :
  • Para : .
  • Para : .
  • Para : .
  • Para : .

Resposta

As quatro raízes de boxed raiz22 + iraiz22,; -raiz22 + iraiz22,; -raiz22 - iraiz22,; raiz22 - iraiz22 são

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