Calcular a parte real, parte imaginária, conjugado e módulo de cada número complexo a seguir:
(1+i raiz3)^-10

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente calcular a parte real, a parte imaginária, o conjugado e o módulo de
(1 + iraiz3)^-10
Isso é assunto de números complexos em forma polar e Teorema de De Moivre. Para resolver vamos precisar:
  1. Saber calcular o módulo e o argumento de um número complexo l(r(costheta + isintheta)r)^n = r^n l(cos(ntheta) + isin(ntheta)r) .
  2. Converter para a forma polar .
  3. Usar o Teorema de De Moivre, que diz:

Passo 2

Primeiro, encontra o módulo r = l|1 + iraiz3r| = raiz1^2 + (raiz3)^2 = raiz1 + 3 = 2 e o argumento theta = arctan!l(tfracraiz31r) = arctan(raiz3) = tfracpi3, de 1 + iraiz3 = 2l(costfracpi3 + isintfracpi3r) .
  • Módulo:
  • Argumento (ângulo) :
porque e .
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Passo 3

Agora aplicamos o Teorema de De Moivre para a potência (1 + iraiz3)^-10 = l[2l(costfracpi3 + isintfracpi3r)r]^-10 = 2^-10,l(cos(-10cdottfracpi3) + isin(-10cdottfracpi3)r) :
E .

Passo 4

Precisamos simplificar o ângulo -,tfrac10pi3 + 4pi = -,tfrac10pi3 + tfrac12pi3 = tfrac2pi3 para um valor equivalente entre cosl(-tfrac10pi3r) + isinl(-tfrac10pi3r) = costfrac2pi3 + isintfrac2pi3 = -tfrac12 + i,tfracraiz32 e (1 + iraiz3)^-10 = 11024l(-tfrac12 + i,tfracraiz32r) = -tfrac12048 ;+; i,tfracraiz32048 .
Então
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Passo 5

Agora extraímos:
  • Parte real: l|zr| = l|,-tfrac12048 + i,tfracraiz32048r| = 12048raiz(-1)^2 + (raiz3)^2 = 12048raiz1 + 3 = 12048cdot2 = 11024
  • Parte imaginária:
  • Conjugado:
  • Módulo:

Resposta

Parte real:
Parte imaginária:
Conjugado:
Módulo:

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