Determine todos os valores de \alpha \in \mathbb{R} para os quais haverá garantia de convergência na aplicação do Método de Gauss-Seidel a esse sistema linear? Justifique sua resposta.
e pede todos os \alpha\in\mathbb{R} tais que o Método de Gauss–Seidel converge. Vamos usar o critério de convergência baseado em dominância diagonal estrita por linhas.
Passo 2
Teorema de convergência (Gauss–Seidel): se a matriz A for estritamente diagonalmente dominante por linhas, isto é, para cada linha i|a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}|,
então o método de Gauss–Seidel converge para a solução única de Ax=b.
Concluímos que todas as linhas são estritamente dominantes se, e só se, a linha 1 for dominante, ou seja, se \alpha<0. Logo, para todo \alpha<0, A é estritamente diagonalmente dominante por linhas e o Método de Gauss–Seidel converge.