2º Exercício

Seja A x=b um sistema linear onde
A=\left[\begin{array}{rrr} -1 & 0 & e^{2 \alpha} \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 2 & 0 & -4 \end{array}\right]
Determine todos os valores de \alpha \in \mathbb{R} para os quais haverá garantia de convergência na aplicação do Método de Gauss-Seidel a esse sistema linear? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá o sistema Ax=b com
A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & e^{2\alpha}\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 2 & 0 & -4 \end{pmatrix},
e pede todos os \alpha\in\mathbb{R} tais que o Método de Gauss–Seidel converge. Vamos usar o critério de convergência baseado em dominância diagonal estrita por linhas.

Passo 2

Teorema de convergência (Gauss–Seidel): se a matriz A for estritamente diagonalmente dominante por linhas, isto é, para cada linha i |a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}|,
então o método de Gauss–Seidel converge para a solução única de Ax=b.

Passo 3

Analisando a linha 1 de A:
|a_{11}| = |-1| = 1, \quad \sum_{j\neq1}|a_{1j}| = |0| + |e^{2\alpha}| = e^{2\alpha}.
A dominância requer
1 > e^{2\alpha} \quad\Longleftrightarrow\quad e^{2\alpha}<1 \quad\Longleftrightarrow\quad 2\alpha<0 \quad\Longleftrightarrow\quad \alpha<0.

Passo 4

Analisando a linha 2 de A:
|a_{22}| = |1| = 1, \quad \sum_{j\neq2}|a_{2j}| = |0| + |0| = 0,
e então 1>0 vale para todo \alpha.

Passo 5

Analisando a linha 3 de A:
|a_{33}| = |-4| = 4, \quad \sum_{j\neq3}|a_{3j}| = |2| + |0| = 2,
e então 4>2 vale para todo \alpha.

Passo 6

Concluímos que todas as linhas são estritamente dominantes se, e só se, a linha 1 for dominante, ou seja, se \alpha<0. Logo, para todo \alpha<0, A é estritamente diagonalmente dominante por linhas e o Método de Gauss–Seidel converge.

Resposta

\alpha<0

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