Determine todos os valores de \alpha \in \mathbb{R} para os quais haverá garantia de convergência na aplicação do Método de Gauss-Jacobi a esse sistema linear? Justifique sua resposta.
e pede para achar os valores de \alpha que garantem convergência do Método de Gauss–Jacobi.
Conteúdo a usar: critério de convergência por matriz estritamente diagonal dominante por linhas.
Passo 2
No Método de Gauss–Jacobi escrevemos
A = D + R,
onde D é a matriz diagonal de A e R = A - D. A iteração é
x^{(k+1)} = -\,D^{-1}R\,x^{(k)} + D^{-1}b,
com matriz de iteração
B = -\,D^{-1}R.
Um critério suficiente de convergência é que A seja estritamente diagonal dominante por linhas, pois isso implica \rho(B)<1.
Passo 3
Verificamos a desigualdade de diagonal dominante por linhas: para cada linha i deve valer
|a_{ii}| \;>\;\sum_{j\neq i}|a_{ij}|.
Linha 1: |-1| > |0|+|0| dá 1>0, ok.
Linha 2: |1| > |0|+|\alpha| dá