3º Exercício

Seja A x=b um sistema linear onde
A=\left[\begin{array}{rrr} -1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & \alpha \\\\ 2 & 0 & -4 \end{array}\right]
Determine todos os valores de \alpha \in \mathbb{R} para os quais haverá garantia de convergência na aplicação do Método de Gauss-Jacobi a esse sistema linear? Justifique sua resposta.

Resolução

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear A x = b com
A=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & \alpha\\\\ 2 & 0 & -4 \end{pmatrix}
e pede para achar os valores de \alpha que garantem convergência do Método de Gauss–Jacobi.
Conteúdo a usar: critério de convergência por matriz estritamente diagonal dominante por linhas.

Passo 2

No Método de Gauss–Jacobi escrevemos
A = D + R,
onde D é a matriz diagonal de A e R = A - D. A iteração é
x^{(k+1)} = -\,D^{-1}R\,x^{(k)} + D^{-1}b,
com matriz de iteração
B = -\,D^{-1}R.
Um critério suficiente de convergência é que A seja estritamente diagonal dominante por linhas, pois isso implica \rho(B)<1.

Passo 3

Verificamos a desigualdade de diagonal dominante por linhas: para cada linha i deve valer
|a_{ii}| \;>\;\sum_{j\neq i}|a_{ij}|.
Linha 1: |-1| > |0|+|0| 1>0, ok.
Linha 2: |1| > |0|+|\alpha|
1 > |\alpha|\quad\Longleftrightarrow\quad |\alpha|<1.
Linha 3: |-4| > |2|+|0| 4>2, ok.

Passo 4

A matriz A é estritamente diagonal dominante por linhas se e somente se |\alpha|<1. Portanto, para todo \alpha tal que
|\alpha|<1,
temos a garantia de convergência do Método de Gauss–Jacobi.

Resposta

\alpha\in(-1,1)

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