- [2 pontos] Considere o processo de calcular
pelo Método Iterativo Linear (ou Ponto Fixo). Analise quatro seguintes assertivas a seguir.
I. As iteradas
, certamente convergem para
, qualquer que seja o chute inicial
.
A velocidade de convergência, neste caso, náo é influenciada por
, apenas por
.
II. As iteradas
, certamente divergem para
, qualquer que seja o chute inicial
.
III. Se considerarmos
, e tomarmos
, então
será igual a 2.914656 .
IV. A convergência deste método é superlinear, pois
.
É correto o que se afirma em:
(A) II
© I, II e III
(E) HI e IV
(B) III
(D) II, III e IV
(F) 11 C 111
I. As iteradas
A velocidade de convergência, neste caso, náo é influenciada por
II. As iteradas
III. Se considerarmos
IV. A convergência deste método é superlinear, pois
É correto o que se afirma em:
(A) II
© I, II e III
(E) HI e IV
(B) III
(D) II, III e IV
(F) 11 C 111
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente analisar quatro afirmativas sobre dois esquemas de ponto fixo pra achar
Essas afirmativas tocam em:
• Convergência (se sempre funciona ou não)
• Velocidade (se é linear, superlinear…)
• Exemplos numéricos com ponto inicial
• Convergência (se sempre funciona ou não)
• Velocidade (se é linear, superlinear…)
• Exemplos numéricos com ponto inicial
O que precisamos:
- Saber que ponto fixo é resolver
e que aqui temos pois ambas têm como ponto fixo (resolvem ). - Usar o critério de convergência local: se
, converge linear; se , diverge; se , poderíamos ter algo mais rápido. - Fazer o cálculo numérico das iteradas com
e .
Passo 2
Analisando a afirmativa I:
“I. As iteradas convergem para
, qualquer que seja
. A velocidade não é influenciada por
, apenas por
.”
“I. As iteradas
Teoria envolvida:
- Para ponto fixo, a condição de convergência local é
. - A velocidade (erro na vizinhança) depende justamente de
.
Cálculo de
:
Em
, a raiz
satisfaz
, logo
Isso mostra convergência local (não “qualquer
”) e convergência linear influenciada por
.
Conclusão do I: contém erros, logo é falsa.
Passo 3
Analisando a afirmativa II:
“II. As iteradas certamente divergem para
, qualquer que seja
.”
“II. As iteradas
Calculemos
Em
, como
, temos
Logo o método diverge localmente (se
estiver perto de
, as iterações se afastam). Também não diverge “para qualquer
”, mas localmente diverge.
Conclusão do II: também é falsa.
Passo 4
Analisando a afirmativa III:
“III. Se considerarmos e tomarmos
, então
.”
“III. Se considerarmos
Vamos iterar numericamente:
De fato dá aproximadamente
.
Conclusão do III: verdadeira.
Passo 5
Analisando a afirmativa IV:
“IV. A convergência deste método é superlinear, pois .”
“IV. A convergência deste método é superlinear, pois
Já vimos que
.
Isso é convergência linear (ordem 1), não superlinear (ordem >1).
Isso é convergência linear (ordem 1), não superlinear (ordem >1).
Conclusão do IV: falsa.
Resposta
A única afirmativa correta é a III.