1. [2 pontos] Considere o processo de calcular p=raiz[3]25 pelo Método Iterativo Linear (ou Ponto Fixo). Analise quatro seguintes assertivas a seguir.
    I. As iteradas pn+1=g1(pn)=5raizpn, n >= 1, certamente convergem para p, qualquer que seja o chute inicial p0.
    A velocidade de convergência, neste caso, náo é influenciada por |g1^prime(x)|, apenas por |p0-p|.
    II. As iteradas pn+1=g2(pn)=25pn^2, n >= 1, certamente divergem para p, qualquer que seja o chute inicial p0.
    III. Se considerarmos pn+1=5raizpn, n >= 1, e tomarmos p0=3, então p3 será igual a 2.914656 .
    IV. A convergência deste método é superlinear, pois |g^prime(x)|=0.
    É correto o que se afirma em:
    (A) II
    © I, II e III
    (E) HI e IV
    (B) III
    (D) II, III e IV
    (F) 11 C 111

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente analisar quatro afirmativas sobre dois esquemas de ponto fixo pra achar
p = raiz[3]25
Essas afirmativas tocam em:
• Convergência (se sempre funciona ou não)
• Velocidade (se é linear, superlinear…)
• Exemplos numéricos com ponto inicial g1(x)=5raizx, g2(x)=25x^2,
O que precisamos:
  1. Saber que ponto fixo é resolver e que aqui temos pois ambas têm como ponto fixo (resolvem ).
  2. Usar o critério de convergência local: se , converge linear; se , diverge; se , poderíamos ter algo mais rápido.
  3. Fazer o cálculo numérico das iteradas com e .

Passo 2

Analisando a afirmativa I:
“I. As iteradas g1(x)=5,x^-1/2 ;Longrightarrow; g1'(x) = -tfrac52,x^-3/2 convergem para g1'(p) = -52,p^3/2 = -52cdot 5 = -tfrac12, lvert g1'(p)rvert = 0.5 <1 , qualquer que seja . A velocidade não é influenciada por , apenas por .”
Teoria envolvida:
  • Para ponto fixo, a condição de convergência local é .
  • A velocidade (erro na vizinhança) depende justamente de .
Cálculo de :
Em , a raiz satisfaz , logo
Isso mostra convergência local (não “qualquer ”) e convergência linear influenciada por .
Conclusão do I: contém erros, logo é falsa.

Passo 3

Analisando a afirmativa II:
“II. As iteradas g2'(x) = -50,x^-3 certamente divergem para g2'(p) = -50p^3 = -5025 = -2, lvert g2'(p)rvert = 2 > 1 , qualquer que seja .”
Calculemos
Em , como , temos
Logo o método diverge localmente (se estiver perto de , as iterações se afastam). Também não diverge “para qualquer ”, mas localmente diverge.
Conclusão do II: também é falsa.

Passo 4

Analisando a afirmativa III:
“III. Se considerarmos e tomarmos , então .”
Vamos iterar numericamente:
De fato dá aproximadamente .
Conclusão do III: verdadeira.

Passo 5

Analisando a afirmativa IV:
“IV. A convergência deste método é superlinear, pois .”
Já vimos que .
Isso é convergência linear (ordem 1), não superlinear (ordem >1).
Conclusão do IV: falsa.

Resposta

A única afirmativa correta é a III.

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