[2 pontos] Considere o seguinte problema: dado o ponto P=(2,1.5), desejamos obter outro ponto Q sobre o gráfico da função f(x)=sin x de maneira que o segmento P Q tenha o menor comprimento possível. Veja a figura ao lado. Para isto, você deve calcular a distâncìa de P a Q ao quadrado, derivá-la e igualar a expressão obtida a zero para encontrar a abscissa do ponto Q. Empregue o método de Newton na função obtida e assinale a alternativa que mais se aproxima da abscissa de Q com uma precisão de 10^-5.
y=sin (x)
(A) 1.851961
(B) 1.852961
© 1.850561
(D) 1.850461
(E) 1.850961
(F) 1.850361

Passo 1

Vamos resumir a questão: temos um ponto $ P = (2, 1.5) $ e queremos encontrar um ponto $ Q $ no gráfico da função $ f(x) = \sin(x) $ de forma que a distância entre $ P $ e $ Q $ seja a menor possível. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo para minimizar a distância e aplicar o método de Newton para encontrar a abscissa de $ Q $ com a precisão desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar a distância ao quadrado entre $ P = (2, 1.5) $ e $ Q = (x, \sin(x)) $. A distância $ d $ entre dois pontos $ (x_1, y_1) $ e $ (x_2, y_2) $ é dada por:
P = (2, 1.5)
Como queremos minimizar a distância, podemos minimizar seu quadrado para facilitar os cálculos:
Q = (x, sin(x))

Passo 3

Agora, vamos desenvolver a expressão de $ d^2 $:
d^2
d^2 = (x - 2)^2 + (sin(x) - 1.5)^2 = (x^2 - 4x + 4) + (sin^2(x) - 3sin(x) + 2.25) = x^2 - 4x + 4 + sin^2(x) - 3sin(x) + 2.25

Passo 4

Para encontrar o ponto onde a distância é mínima, precisamos derivar $ d^2 $ em relação a $ x $ e igualar a derivada a zero. Vamos calcular a derivada de $ d^2 $:
d^2
Simplificando:
x
Queremos encontrar o valor de $ x $ tal que $ \frac{d}{dx}(d^2) = 0 $:
d^2

Passo 5

Essa equação não pode ser resolvida analiticamente, então vamos usar o método de Newton para encontrar a raiz da função:
f(x) = 2x - 4 + cos(x)(2sin(x) - 3)
O método de Newton requer a derivada de $ f(x) $:
f(x)
Simplificando:
f'(x) = 2 + (-sin(x))(2sin(x) - 3) + cos(x)(2cos(x))
Usaremos uma aproximação inicial próxima da solução esperada e iteraremos até alcançar a precisão de $ 10^{-5} $.

Passo 6

Aplicando o método de Newton com a aproximação inicial $ x_0 = 1.85 $, iteramos até convergir para a solução com a precisão desejada. Após algumas iterações, encontramos que:
x0 = 1.85

Resposta

A abscissa de $ Q $ com a precisão de $ 10^{-5} $ é aproximadamente 1.851961 (Alternativa A).

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