Vamos resumir a questão: temos um ponto $ P = (2, 1.5) $ e queremos encontrar um ponto $ Q $ no gráfico da função $ f(x) = \sin(x) $ de forma que a distância entre $ P $ e $ Q $ seja a menor possível. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo para minimizar a distância e aplicar o método de Newton para encontrar a abscissa de $ Q $ com a precisão desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar a distância ao quadrado entre $ P = (2, 1.5) $ e $ Q = (x, \sin(x)) $. A distância $ d $ entre dois pontos $ (x_1, y_1) $ e $ (x_2, y_2) $ é dada por:
P = (2, 1.5)
Como queremos minimizar a distância, podemos minimizar seu quadrado para facilitar os cálculos:
Para encontrar o ponto onde a distância é mínima, precisamos derivar $ d^2 $ em relação a $ x $ e igualar a derivada a zero. Vamos calcular a derivada de $ d^2 $:
d^2
Simplificando:
x
Queremos encontrar o valor de $ x $ tal que $ \frac{d}{dx}(d^2) = 0 $:
d^2
Passo 5
Essa equação não pode ser resolvida analiticamente, então vamos usar o método de Newton para encontrar a raiz da função:
Usaremos uma aproximação inicial próxima da solução esperada e iteraremos até alcançar a precisão de $ 10^{-5} $.
Passo 6
Aplicando o método de Newton com a aproximação inicial $ x_0 = 1.85 $, iteramos até convergir para a solução com a precisão desejada. Após algumas iterações, encontramos que:
x0 = 1.85
Resposta
A abscissa de $ Q $ com a precisão de $ 10^{-5} $ é aproximadamente 1.851961 (Alternativa A).