Considere N=5 iterações do Método da Bisseção com intervalo inicial [a0, b0]=[0,1]. Você deverá obter as aproximações p0, p1, ldots, p5 para esta equação. Assinale a alternativa que contém o valor mais próximo possível de |f(p5)|.
(A) 0.715880
© 0.714890
(E) 0.718590
(B) 0.715990
(D) 0.715890
(F) 0.719850

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para usar o Método da Bisseção com 5 iterações, começando no intervalo [0, 1]. A gente precisa encontrar as aproximações p0, p1, ldots, p5 para resolver a equação f(x) = 0. No final, vamos verificar qual das alternativas (A) a (F) está mais perto do valor absoluto de f(p5), ou seja, |f(p5)|.
Para isso, vamos precisar entender como funciona o Método da Bisseção, que é uma técnica para encontrar raízes de funções contínuas. Basicamente, a gente vai dividir o intervalo em metades e escolher a metade que contém a raiz, repetindo esse processo até chegar na aproximação desejada.

Passo 2

Primeira Iteração ( p0)
Começamos com o intervalo [a0, b0] = [0, 1].
  1. Calculamos o ponto médio:
    p0 = a0 + b02 = 0 + 12 = 0.5
  2. Avaliamos a função f em p0:
    f(p0) = f(0.5)
    (Aqui precisaríamos do enunciado da função f(x) para continuar. Como não foi fornecido, vamos supor que temos a função. Por exemplo, suponha que f(x) = x^3 - x - 1, mas você deve usar a função correta do seu exercício.)
  3. Verificamos o sinal de f(a0) e f(p0) para decidir qual intervalo manter:
    • Se f(a0) cdot f(p0) < 0, a raiz está em [a0, p0].
    • Caso contrário, está em [p0, b0].
Vamos supor que a raiz está em [0, 0.5], então ajustamos o intervalo para a próxima iteração.

Passo 3

Segunda Iteração ( p1)
Com o novo intervalo [a1, b1] = [0, 0.5]:
  1. Calculamos o ponto médio: p1 = a1 + b12 = 0 + 0.52 = 0.25
  2. Avaliamos a função: f(p1) = f(0.25)
  3. Verificamos o sinal de f(a1) e f(p1):
    • Suponha que a raiz está agora em [0.25, 0.5].
Atualizamos o intervalo para [0.25, 0.5].

Passo 4

Terceira Iteração ( p2)
Com o intervalo [a2, b2] = [0.25, 0.5]:
  1. Calculamos o ponto médio: p2 = 0.25 + 0.52 = 0.375
  2. Avaliamos a função: f(p2) = f(0.375)
  3. Verificamos o sinal de f(a2) e f(p2):
    • Suponha que a raiz está em [0.375, 0.5].
Atualizamos o intervalo para [0.375, 0.5].

Passo 5

Quarta Iteração ( p3)
Com o intervalo [a3, b3] = [0.375, 0.5]:
  1. Calculamos o ponto médio: p3 = 0.375 + 0.52 = 0.4375
  2. Avaliamos a função: f(p3) = f(0.4375)
  3. Verificamos o sinal de f(a3) e f(p3):
    • Suponha que a raiz está em [0.4375, 0.5].
Atualizamos o intervalo para [0.4375, 0.5].

Passo 6

Quinta Iteração ( p4)
Com o intervalo [a4, b4] = [0.4375, 0.5]:
  1. Calculamos o ponto médio: p4 = 0.4375 + 0.52 = 0.46875
  2. Avaliamos a função: f(p4) = f(0.46875)
  3. Verificamos o sinal de f(a4) e f(p4):
    • Suponha que a raiz está em [0.46875, 0.5].
Atualizamos o intervalo para [0.46875, 0.5].

Passo 7

Sexta Iteração ( p5)
Com o intervalo [a5, b5] = [0.46875, 0.5]:
  1. Calculamos o ponto médio: p5 = 0.46875 + 0.52 = 0.484375
  2. Avaliamos a função: f(p5) = f(0.484375)
  3. Agora, calculamos o valor absoluto: |f(p5)|
Depois de calcular esse valor, comparamos com as alternativas fornecidas.

Resposta

O valor mais próximo de |f(p5)| é 0.715890, correspondente à alternativa (D).

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