[2] Sabe-se que o erro ao interpolar f(x) por Pn(x) nos nós x0, x1, cdots, xn subset[a, b] é dado por:
En(x)=f(x)-Pn(x)=(x-x0)(x-x1) cdots(x-xn) f^(n+1)(xi)(n+1)!, xi in[a, b]
Encontre um limitante superior para En(x) nos itens do exercício 3.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que o erro da interpolação de uma função En(x);=;f(x)-Pn(x) ;=; l(x-x0r)l(x-x1r)cdotsl(x-xnr), f^(n+1)(xi)(n+1)!, xiin[a,b] por um polinômio de grau , nos nós , é
O que a gente precisa é encontrar um limitante superior para em toda a faixa .
Conteúdo: teoria de interpolação de Lagrange, fórmula do resto (erro) e noções de máximo de função.

Passo 2

Para achar um limitante superior de M = max,tin[a,b]l|f^(n+1)(t)r| e W = max,xin[a,b]l|,(x-x0)(x-x1)cdots(x-xn)r|, em l|En(x)r| ;=; l|(x-x0)cdots(x-xn)r|;l|f^(n+1)(xi)r|(n+1)! ;<=; M(n+1)!;W , vamos usar duas ideias simples:
  1. o fator pode ser estimado por um máximo
  2. o produto tem um valor máximo absoluto em
Ou seja, se definirmos
então, para todo e algum , vale

Passo 3

Falta agora interpretar o W = maxxin[a,b]l|,(x-x0)cdots(x-xn)r| .
  • Se os nós forem quaisquer pontos em , a gente só pode escrever
  • Se, por exemplo, forem nós igualmente espaçados, às vezes consegue-se uma fórmula explícita (mas depende de cada configuração).
Em todo caso, o passo–chave foi perceber que o erro fica limitado por um produto “M vezes W sobre ”.

Resposta

Um limitante geral para o erro de interpolação em boxed maxxin[a,b]l|En(x)r| ;<=; 1(n+1)!;l(maxtin[a,b]!l|f^(n+1)(t)r|r) ;times; l(maxxin[a,b]l|(x-x0)cdots(x-xn)r|r) é

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