[2] Sabe-se que o erro ao interpolar por nos nós é dado por:
Encontre um limitante superior para nos itens do exercício 3.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que o erro da interpolação de uma função por um polinômio de grau , nos nós , é
O que a gente precisa é encontrar um limitante superior para em toda a faixa .
Conteúdo: teoria de interpolação de Lagrange, fórmula do resto (erro) e noções de máximo de função.
Passo 2
Para achar um limitante superior de em , vamos usar duas ideias simples:
o fator pode ser estimado por um máximo
o produto tem um valor máximo absoluto em
Ou seja, se definirmos
então, para todo e algum , vale
Passo 3
Falta agora interpretar o W = maxxin[a,b]l|,(x-x0)cdots(x-xn)r| .
Se os nós forem quaisquer pontos em , a gente só pode escrever
Se, por exemplo, forem nós igualmente espaçados, às vezes consegue-se uma fórmula explícita (mas depende de cada configuração).
Em todo caso, o passo–chave foi perceber que o erro fica limitado por um produto “M vezes W sobre ”.
Resposta
Um limitante geral para o erro de interpolação em boxed maxxin[a,b]l|En(x)r| ;<=; 1(n+1)!;l(maxtin[a,b]!l|f^(n+1)(t)r|r) ;times; l(maxxin[a,b]l|(x-x0)cdots(x-xn)r|r) é